Pengenalan distribusi hipergeometri

Distribusi hipergeometri menggambarkan peluang terpilihnya k objek dengan karakteristik tertentu dalam n pengambilan tanpa pengembalian, dari populasi terbatas berukuran N yang berisi K objek dengan karakteristik tersebut.

Jika suatu variabel acak X mengikuti distribusi hipergeometri, maka peluang terpilihnya k objek dengan karakteristik tertentu dapat dicari dengan rumus berikut:

P(X=k) = _K C _k ( _NK C _nk ) / _N C _n

Emas:

• N: ukuran populasi
• K : banyaknya objek dalam populasi yang mempunyai ciri-ciri tertentu
• n: ukuran sampel
• k : jumlah objek dalam sampel dengan fungsi tertentu
• _K C _k : banyaknya kombinasi K benda yang diambil k sekaligus

Misalnya, ada 4 Ratu dalam setumpuk 52 kartu standar. Misalkan kita secara acak memilih sebuah kartu dari tumpukan kartu dan kemudian, tanpa pengembalian, secara acak memilih kartu lain dari tumpukan tersebut. Berapa peluang terambilnya kedua kartu tersebut adalah Queens?

Untuk menjawabnya kita dapat menggunakan distribusi hipergeometri dengan parameter sebagai berikut:

• N : jumlah populasi = 52 kartu
• K : banyaknya objek dalam populasi dengan ciri tertentu = 4 ratu
• n: ukuran sampel = 2 kali seri
• k : banyaknya objek dalam sampel dengan karakteristik tertentu = 2 ratu

Memasukkan angka-angka ini ke dalam rumus, kita menemukan bahwa probabilitasnya adalah:

P(X=2) = _K C _k ( _NK C _nk ) / _N C _n = ₄ C ₂ ( _52-4 C _2-2 ) / ₅₂ C ₂ = 6*1/ 1326 = 0,00452 .

Ini seharusnya masuk akal secara intuitif. Jika Anda membayangkan mengambil dua kartu dari satu dek, satu demi satu, kemungkinan kedua kartu tersebut adalah Queens seharusnya sangat rendah.

Sifat-sifat distribusi hipergeometri

Distribusi hipergeometri mempunyai sifat sebagai berikut:

Rata-rata distribusinya adalah (nK) / N

Varians distribusinya adalah (nK)(NK)(Nn) / (N ² (n-1))

Soal Praktek Distribusi Hipergeometri

Gunakan soal latihan berikut untuk menguji pengetahuan Anda tentang distribusi hipergeometri.

Catatan: Kami akan menggunakan Kalkulator Distribusi Hipergeometri untuk menghitung jawaban atas pertanyaan-pertanyaan ini.

Masalah 1

Pertanyaan: Misalkan kita secara acak memilih empat kartu dari satu tumpukan kartu tanpa menggantinya. Berapa peluang terambilnya dua kartu adalah Queens?

Untuk menjawabnya kita dapat menggunakan distribusi hipergeometri dengan parameter sebagai berikut:

• N : jumlah populasi = 52 kartu
• K : banyaknya objek dalam populasi dengan ciri tertentu = 4 ratu
• n: ukuran sampel = 4 kali seri
• k : banyaknya objek dalam sampel dengan karakteristik tertentu = 2 ratu

Memasukkan angka-angka ini ke dalam kalkulator distribusi hipergeometri, kami menemukan bahwa probabilitasnya adalah 0,025 .

Masalah 2

Pertanyaan: Sebuah guci berisi 3 bola merah dan 5 bola hijau. Anda secara acak memilih 4 bola. Berapa peluang terambilnya tepat 2 bola merah?

Untuk menjawabnya kita dapat menggunakan distribusi hipergeometri dengan parameter sebagai berikut:

• N : jumlah populasi = 8 bola
• K : banyaknya objek dalam populasi yang mempunyai ciri tertentu = 3 bola merah
• n: ukuran sampel = 4 kali seri
• k : banyaknya benda dalam sampel yang mempunyai sifat tertentu = 2 bola merah

Memasukkan angka-angka ini ke dalam kalkulator distribusi hipergeometri, kami menemukan bahwa probabilitasnya adalah 0,42857 .

Masalah 3

Pertanyaan: Sebuah keranjang berisi 7 kelereng ungu dan 3 kelereng merah muda. Anda secara acak memilih 6 kelereng. Berapa peluang terambilnya tepat 3 kelereng berwarna merah muda?

Untuk menjawabnya kita dapat menggunakan distribusi hipergeometri dengan parameter sebagai berikut:

• N : jumlah populasi = 10 kelereng
• K : banyaknya objek dalam populasi yang mempunyai ciri tertentu = 3 bola merah muda
• n: ukuran sampel = 6 kali seri
• k : banyaknya benda dalam sampel yang mempunyai sifat tertentu = 3 bola merah muda

Dengan memasukkan angka-angka ini ke dalam kalkulator distribusi hipergeometri, kami menemukan bahwa probabilitasnya adalah 0,16667 .