Aksioma probabilitas

Oleh Benjamin anderson Agustus 1, 2023 Tidak dikategorikan 0 Komentar

Artikel ini menjelaskan apa itu aksioma probabilitas. Jadi, Anda akan menemukan definisi aksiomatik tentang probabilitas, apa saja aksioma-aksioma probabilitas yang berbeda, dan contoh penerapannya.

Sebutkan 3 aksioma probabilitas?

Aksioma probabilitas adalah:

Probabilitas Aksioma 1 : Probabilitas suatu kejadian tidak boleh negatif.
Aksioma Probabilitas 2 : Peluang suatu kejadian tertentu adalah 1.
Aksioma Probabilitas 3 : Probabilitas suatu himpunan kejadian eksklusif sama dengan jumlah semua probabilitas.

Ketiga aksioma probabilitas juga dikenal sebagai aksioma Kolmogorov , karena dirumuskan oleh ahli matematika Rusia ini pada tahun 1933.

Setiap jenis aksioma probabilitas dijelaskan lebih rinci di bawah ini.

Aksioma 1

Aksioma probabilitas pertama mengatakan bahwa probabilitas suatu peristiwa terjadi tidak boleh negatif dan oleh karena itu nilainya antara 0 dan 1.

$0\leq P(A)\leq 1$

Jika peluang suatu kejadian sama dengan nol, berarti mustahil kejadian tersebut terjadi. Sebaliknya jika peluang suatu kejadian adalah 1, maka kejadian tersebut pasti akan terjadi. Jadi, semakin tinggi nilai probabilitas suatu peristiwa, maka semakin besar kemungkinan terjadinya.

aksioma 2

Aksioma peluang kedua menyatakan bahwa peluang terjadinya suatu peristiwa tertentu sama dengan 1.

$P(\Omega)=1$

Suatu peristiwa tertentu merupakan akibat dari pengalaman acak yang akan selalu terjadi. Oleh karena itu, peristiwa aman juga dapat didefinisikan sebagai ruang sampel dari percobaan acak.

➤ Lihat: Acara aman

Aksioma 3

Aksioma probabilitas ketiga menyatakan bahwa, jika terdapat sekumpulan kejadian eksklusif, probabilitas gabungan semua kejadian setara dengan jumlah semua probabilitas kejadian.

$A\cap B= \varnothing \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

Dua peristiwa atau lebih dikatakan eksklusif bila peristiwa-peristiwa tersebut tidak dapat terjadi secara bersamaan. Oleh karena itu, untuk menghitung probabilitas gabungan, tidak perlu memperhitungkan probabilitas terjadinya keduanya secara bersamaan.

➤ Lihat: Tidak termasuk acara

Contoh aksioma probabilitas

Sebagai contoh, di bawah ini kita akan menganalisis beberapa hasil percobaan pelemparan sebuah dadu sehingga terlihat bahwa aksioma probabilitas terpenuhi.

Saat Anda melempar sebuah dadu, ada enam kemungkinan hasil, yaitu sebagai berikut:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

Dalam kasus ini, semua hasil memiliki kemungkinan yang sama, jadi untuk menentukan probabilitas terjadinya setiap hasil, kita hanya perlu mencari probabilitas suatu hasil. Jadi, kami menerapkan rumus aturan Laplace untuk menghitung probabilitas setiap kemungkinan hasil:

$P(\text{cualquier n\'umero})=\cfrac{1}{6}=0,167$

Kemudian, karena probabilitas untuk memperoleh setiap hasil adalah positif, maka aksioma probabilitas pertama terpenuhi.

Sekarang mari kita periksa aksioma kedua. Dalam hal ini, suatu peristiwa tertentu “mendapatkan angka dari 1 hingga 6”, jadi kita menambahkan probabilitas untuk mendapatkan setiap hasil:

$\begin{array}{l}P(\text{n\'umero del 1 al 6})=\\[2ex]=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=\\[2ex]=0,167+0,167+0,167+0,167+0,167+0,167=\\[2ex]=1\end{array}$

Jadi peluang suatu kejadian tertentu sama dengan 1, oleh karena itu aksioma peluang kedua juga terpenuhi.

Terakhir, yang tersisa hanyalah memverifikasi aksioma probabilitas ketiga. Perbedaan hasil yang kita peroleh dengan pelemparan sebuah dadu adalah saling lepas, karena misalnya kita melempar angka 2 maka kita tidak dapat lagi memperoleh angka 5. Oleh karena itu, perhitungan untuk memperoleh dua bilangan sembarang dapat dilakukan dengan dua cara: menggunakan Aturan Laplace atau dengan menjumlahkan probabilitas setiap hasil.

$P(2 \text{ o } 5)=\cfrac{2}{6}=0,33$

$P(2 \text{ o } 5)=P(2)+P(5)=0,167+0,167=0,33$

Dalam kedua kasus tersebut kita mendapatkan nilai probabilitas yang sama, sehingga aksioma probabilitas ketiga juga benar.

Properti disimpulkan dari aksioma probabilitas

Dari ketiga aksioma probabilitas, kita dapat menyimpulkan sifat-sifat berikut:

Kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang mustahil adalah nol.

$P(\varnothing)=0$

Peluang suatu kejadian sama dengan atau kurang dari 1.

$P(A)\leq 1$

$0\leq P(A)\leq 1$

Peluang suatu kejadian sama dengan satu dikurangi peluang kejadian yang saling melengkapi .

$P(A)=1-P\left(\overline{A}\right)$

Jika suatu kejadian termasuk dalam kejadian lain, maka peluang kejadian pertama harus lebih kecil atau sama dengan peluang kejadian kedua.

$A\subset B \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A)\leq P(B)$

Peluang gabungan dua kejadian adalah jumlah peluang kedua kejadian tersebut dikurangi peluang perpotongannya.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Diberikan sekumpulan peristiwa dua-dua yang tidak kompatibel , probabilitas gabungannya dihitung dengan menjumlahkan probabilitas terjadinya setiap peristiwa.

$P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)$

Jika ruang sampel berhingga dan suatu kejadian adalah S={x ₁ ,x ₁ ,…,x _k }, maka peluang terjadinya kejadian tersebut ekuivalen dengan persamaan berikut:

$P(S)=P(x_1)+P(x_2)+\ldots+P(x_n)$

Tentang Penulis

Benjamin anderson

Halo, saya Benjamin, pensiunan profesor statistika yang menjadi guru Statorial yang berdedikasi. Dengan pengalaman dan keahlian yang luas di bidang statistika, saya ingin berbagi ilmu untuk memberdayakan mahasiswa melalui Statorials. Baca selengkapnya