Analisis varians (anova)

Oleh Benjamin anderson Agustus 2, 2023 Statistik 0 Komentar

Artikel ini menjelaskan apa itu analisis varians, yang juga dikenal sebagai ANOVA, dalam statistik. Jadi, Anda akan menemukan cara melakukan analisis varians, apa itu tabel ANOVA, dan latihan penyelesaian langkah demi langkah. Selain itu, juga ditunjukkan asumsi-asumsi awal yang harus dipenuhi untuk melakukan analisis varians dan, terakhir, apa kelebihan dan kekurangan analisis ANOVA.

Apa itu analisis varians (ANOVA)?

Dalam statistik, analisis varians , juga disebut ANOVA (Analysis of Variance), adalah teknik yang memungkinkan Anda membandingkan varians antara rata-rata sampel yang berbeda.

Analisis varians (ANOVA) digunakan untuk menganalisis apakah terdapat perbedaan mean lebih dari dua populasi. Jadi, analisis varians memungkinkan kita menentukan apakah rata-rata populasi dari dua kelompok atau lebih berbeda dengan menganalisis variabilitas antara rata-rata sampel.

Oleh karena itu, hipotesis nol dari analisis varians adalah bahwa rata-rata semua kelompok yang dianalisis adalah sama. Sedangkan hipotesis alternatif menyatakan bahwa setidaknya salah satu meannya berbeda.

$\begin{cases}H_0: \mu_1=\mu_2=\ldots=\mu_k=\mu\\[2ex]H_1: \exists \mu_i\neq \mu \quad i=1,2,\ldots, k\end{cases}$

Jadi, analisis varians sangat berguna untuk membandingkan rata-rata lebih dari dua kelompok, karena dengan jenis analisis ini Anda dapat mempelajari rata-rata semua kelompok pada saat yang sama, daripada membandingkan rata-rata secara berpasangan. Di bawah ini kita akan melihat apa saja kelebihan dan kekurangan analisis varians.

tabel ANOVA

Analisis varians dirangkum dalam sebuah tabel yang disebut tabel ANOVA , yang rumusnya adalah sebagai berikut:

Emas:

$n_i$

adalah ukuran sampel i.
$N$

adalah jumlah total pengamatan.
$k$

adalah jumlah kelompok yang berbeda dalam analisis varians.
$y_{ij}$

adalah nilai j dari grup i.
$\overline{y}_{i}$

adalah rata-rata kelompok i.
$\overline{y}$

Ini adalah rata-rata dari semua data yang dianalisis.

Contoh Analisis Varians (ANOVA)

Untuk menyelesaikan pemahaman konsep ANOVA, mari kita lihat bagaimana melakukan analisis varians dengan menyelesaikan contoh langkah demi langkah.

Studi statistik dilakukan untuk membandingkan skor yang diperoleh empat siswa dalam tiga mata pelajaran berbeda (A, B dan C). Tabel berikut merinci skor yang diperoleh setiap siswa pada suatu tes dengan skor maksimal 20. Lakukan analisis varian untuk membandingkan skor yang diperoleh setiap siswa pada setiap mata pelajaran.

Hipotesis nol dari analisis varians ini adalah bahwa rata-rata skor ketiga subjek adalah sama. Di sisi lain, hipotesis nolnya adalah bahwa beberapa cara ini berbeda.

$\begin{cases}H_0: \mu_A=\mu_B=\mu_C=\mu\\[2ex]H_1: \exists \mu_i\neq \mu \quad i=A, B, C\end{cases}$

Untuk melakukan analisis varians, hal pertama yang dilakukan adalah menghitung mean setiap subjek dan mean total data:

$\overline{y}_A=\cfrac{14+12+14+10}{4}=12,5$

$\overline{y}_B=\cfrac{13+14+10+14}{4}=12,75$

$\overline{y}_C=\cfrac{19+17+16+19}{4}=17,75$

$\overline{y}=\cfrac{14+12+14+10+13+14+10+14+19+17+16+19}{12}=14,33$

Setelah kita mengetahui nilai meannya, kita menghitung jumlah kuadratnya menggunakan rumus analisis varians (ANOVA) seperti yang terlihat di atas:

$\begin{aligned}\displaystyle SS_F&=\sum_{i=1}^k n_i(\overline{y}_i-\overline{y})^2\\[2ex] SS_F&= 4\cdot (12,5-14,33)^2+4\cdot (12,75-14,33)^2+4\cdot (17,75-14,33)^2\\[2ex] SS_F&=70,17\end{aligned}$

$\begin{aligned}\displaystyle SS_E=&\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i} (y_{ij}-\overline{y}_i)^2\\[2ex] \displaystyle SS_E=\ &(14-12,5)^2+(12-12,5)^2+(14-12,5)^2+(10-12,5)^2+\\&+(13-12,75)^2+(14-12,75)^2+(10-12,75)^2+(14-12,75)^2+\\&+(19-17,75)^2+(17-17,75)^2+(16-17,75)^2+(19-17,75)^2\\[2ex] SS_E=\ &28,50\end{aligned}$

$\begin{aligned}\displaystyle SS_T=&\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i} (y_{ij}-\overline{y})^2\\[2ex] \displaystyle SS_T= \ &(14-14,33)^2+(12-14,33)^2+(14-14,33)^2+(10-14,33)^2+\\&+(13-14,33)^2+(14-14,33)^2+(10-14,33)^2+(14-14,33)^2+\\&+(19-14,33)^2+(17-14,33)^2+(16-14,33)^2+(19-14,33)^2\\[2ex] SS_T= \ &98,67\end{aligned}$

Kemudian kita tentukan derajat kebebasan faktor, error dan totalnya:

$GL_F=k-1=3-1=2$

$GL_E=N-k=12-3=9$

$GL_F=N-1=12-1=11$

Sekarang kita menghitung rata-rata kesalahan kuadrat dengan membagi jumlah kuadrat faktor dan kesalahan dengan derajat kebebasannya masing-masing:

$MSE_F=\cfrac{SS_F}{GL_F}=\cfrac{70,17}{2}=35,08$

$MSE_R=\cfrac{SS_R}{GL_R}=\cfrac{28,50}{9}=3,17$

Dan terakhir, kita menghitung nilai statistik F dengan membagi dua error yang dihitung pada langkah sebelumnya:

$F=\cfrac{MSE_F}{MSE_R}=\cfrac{35,09}{3,17}=11,08$

Singkatnya, tabel ANOVA untuk contoh data akan terlihat seperti ini:

Setelah semua nilai pada tabel ANOVA telah dihitung, yang tersisa hanyalah menginterpretasikan hasil yang diperoleh. Untuk melakukan ini, kita perlu mencari probabilitas memperoleh nilai yang lebih besar dari statistik F dalam distribusi Snedecor F dengan derajat kebebasan yang sesuai, yaitu, kita perlu menentukan nilai p dari pengujian:

$P[F>11,08]=0,004″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”18″ width=”172″ style=”vertical-align: -5px;”> Oleh karena itu, jika kita mengambil tingkat signifikansi α=0,05 (yang paling umum), kita harus menolak hipotesis nol dan menerima hipotesis alternatif, karena nilai p dari pengujian tersebut lebih rendah dari tingkat signifikansi. Ini berarti bahwa setidaknya beberapa rata-rata kelompok yang diteliti berbeda dari kelompok lain. <p class=$ $0,004 < 0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \text{Se rechaza } H_0$

Perlu diketahui bahwa saat ini terdapat beberapa program komputer yang dapat melakukan analisis varians hanya dalam beberapa detik. Namun, penting juga untuk mengetahui teori di balik perhitungan tersebut.

Asumsi Analisis Varians (ANOVA)

Untuk melakukan analisis varians (ANOVA), kondisi berikut harus dipenuhi:

Kemandirian : nilai-nilai yang diamati tidak bergantung satu sama lain. Salah satu cara untuk memastikan independensi observasi adalah dengan menambahkan keacakan pada proses pengambilan sampel.
Homoskedastisitas : variansnya harus homogen, yaitu variabilitas residunya konstan.
Normalitas : Residunya harus berdistribusi normal, atau dengan kata lain harus mengikuti distribusi normal.
Kontinuitas : Variabel terikat harus kontinu.

Jenis Analisis Varians (ANOVA)

Ada tiga jenis analisis varians (ANOVA) :

Analisis varians satu arah (one-way ANOVA) : Dalam analisis varians hanya terdapat satu faktor yaitu hanya terdapat satu variabel bebas.
Analisis varians dua arah (ANOVA dua arah) : Analisis varians mempunyai dua faktor, sehingga dianalisis dua variabel bebas dan interaksi di antara keduanya.
Multivariate Analysis of Variance (MANOVA) : Dalam analisis varians terdapat lebih dari satu variabel terikat. Tujuannya adalah untuk mengetahui apakah variabel independen berubah nilainya ketika variabel dependen berubah.

Kelebihan dan Kekurangan Analisis Varians (ANOVA)

Terakhir, kita akan melihat kapan saat yang tepat bagi kita untuk menggunakan analisis varians dan, juga, apa batasan dari jenis analisis statistik ini.

Keuntungan utama dari analisis varians (ANOVA) adalah memungkinkan lebih dari dua kelompok dibandingkan pada waktu yang sama. Berbeda dengan uji-t yang hanya dapat menganalisis mean dari satu atau dua sampel, analisis varians digunakan untuk menentukan apakah beberapa populasi memiliki mean yang sama atau tidak.

Namun, analisis varians tidak memberi tahu kita kelompok studi mana yang memiliki rata-rata yang berbeda, analisis ini hanya memberi tahu kita jika terdapat perbedaan rata-rata yang signifikan atau apakah semua rata-ratanya serupa.

Demikian pula, kelemahan lain dari analisis varians adalah empat asumsi sebelumnya (lihat di atas) harus dipenuhi untuk melakukan analisis ANOVA, jika tidak, kesimpulan yang diambil bisa saja salah. Oleh karena itu, harus selalu diverifikasi bahwa kumpulan data statistik memenuhi keempat persyaratan ini.

Tentang Penulis

Benjamin anderson

Halo, saya Benjamin, pensiunan profesor statistika yang menjadi guru Statorial yang berdedikasi. Dengan pengalaman dan keahlian yang luas di bidang statistika, saya ingin berbagi ilmu untuk memberdayakan mahasiswa melalui Statorials. Baca selengkapnya