Cdf atau pdf: apa bedanya?

Tutorial ini memberikan penjelasan sederhana tentang perbedaan antara PDF (fungsi kepadatan probabilitas) dan CDF (fungsi distribusi kumulatif) dalam statistik.

Variabel acak

Sebelum kita dapat mendefinisikan PDF atau CDF, pertama-tama kita perlu memahami variabel acak.

Variabel acak , biasanya dilambangkan dengan X, adalah variabel yang nilainya merupakan hasil numerik dari proses acak. Ada dua jenis variabel acak: diskrit dan kontinu.

Variabel acak diskrit

Variabel acak diskrit adalah variabel yang hanya dapat mengambil sejumlah nilai berbeda yang dapat dihitung seperti 0, 1, 2, 3, 4, 5… 100, 1 juta, dst. Berikut beberapa contoh variabel acak diskrit:

• Berapa kali sebuah koin mendarat setelah dilempar sebanyak 20 kali.
• Berapa kali sebuah dadu mendarat pada angka 4 setelah dilempar sebanyak 100 kali.

Variabel acak kontinu

Variabel acak kontinu adalah variabel yang dapat mengambil kemungkinan nilai yang jumlahnya tak terhingga. Berikut beberapa contoh variabel acak kontinu:

• Tinggi badan seseorang
• Berat seekor binatang
• Waktu yang Dibutuhkan untuk Berjalan Satu Mil

Misalnya, tinggi badan seseorang bisa jadi 60,2 inci, 65,2344 inci, 70,431222 inci, dll. Ada kemungkinan nilai ukuran yang jumlahnya tak terbatas.

Aturan umum: Jika Anda dapat menghitung jumlah hasil, maka Anda menggunakan variabel acak diskrit (misalnya, menghitung berapa kali sebuah koin muncul). Namun jika Anda dapat mengukur hasilnya, Anda menggunakan variabel acak kontinu (misalnya pengukuran, tinggi badan, berat badan, waktu, dll.)

Fungsi kepadatan probabilitas

Fungsi kepadatan probabilitas (pdf) memberi tahu kita probabilitas bahwa suatu variabel acak mempunyai nilai tertentu.

Misalnya kita melempar sebuah dadu sebanyak satu kali. Jika kita misalkan x menyatakan angka di mana dadu mendarat, maka fungsi kepadatan probabilitas untuk hasilnya dapat digambarkan sebagai berikut:

P(x < 1) : 0

P(x = 1) : 1/6

P(x = 2) : 1/6

P(x = 3) : 1/6

P(x = 4) : 1/6

P(x = 5) : 1/6

P(x = 6) : 1/6

P(x > 6) : 0

Perhatikan bahwa ini adalah contoh variabel acak diskrit, karena x hanya dapat mengambil nilai integer.

Untuk variabel acak kontinu, kita tidak dapat menggunakan PDF secara langsung, karena kemungkinan x mengambil nilai eksak adalah nol.

Misalnya, kita ingin mengetahui probabilitas bahwa hamburger dari restoran tertentu memiliki berat seperempat pon (0,25 pon). Karena bobot adalah variabel kontinu, maka bobot dapat mempunyai jumlah nilai yang tak terhingga.

Misalnya, hamburger tertentu mungkin memiliki berat 0,250001 pon, atau 0,24 pon, atau 0,2488 pon. Peluang bahwa suatu hamburger akan berbobot tepat 0,25 pon pada dasarnya adalah nol.

Fungsi Distribusi Kumulatif

Fungsi distribusi kumulatif (cdf) memberi tahu kita probabilitas bahwa variabel acak bernilai kurang dari atau sama dengan x .

Misalnya kita melempar sebuah dadu sebanyak satu kali. Jika kita misalkan x menyatakan nomor tempat dadu mendarat, maka fungsi distribusi kumulatif dari hasilnya dapat digambarkan sebagai berikut:

P(x ≤ 0) : 0

P(x ≤ 1) : 1/6

P(x ≤ 2) : 2/6

P(x ≤ 3) : 3/6

P(x ≤ 4) : 4/6

P(x ≤ 5) : 5/6

P(x ≤ 6) : 6/6

P(x > 6) : 0

Perhatikan bahwa peluang x lebih kecil atau sama dengan 6 adalah 6/6, yaitu sama dengan 1. Hal ini karena dadu akan mendarat pada 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 dengan probabilitas 100%.

Contoh ini menggunakan variabel acak diskrit, namun fungsi kepadatan kontinu juga dapat digunakan untuk variabel acak kontinu.

Fungsi distribusi kumulatif memiliki sifat sebagai berikut:

• Peluang suatu variabel acak mengambil nilai kurang dari nilai terkecil yang mungkin adalah nol. Misalnya, peluang munculnya sebuah dadu yang nilainya kurang dari 1 adalah nol.
• Peluang suatu variabel acak mempunyai nilai yang kurang dari atau sama dengan nilai terbesar yang mungkin adalah satu. Misalnya, peluang munculnya sebuah dadu bernilai 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 adalah satu. Itu harus mendarat di salah satu nomor ini.
• CDF selalu tidak berkurang. Artinya, peluang munculnya sebuah dadu pada angka yang kurang dari atau sama dengan 1 adalah 1/6, peluang munculnya dadu pada angka yang kurang dari atau sama dengan 2 adalah 2/6, peluang munculnya dadu pada sebuah angka adalah 2/6. bilangan yang kurang dari atau sama dengan 3 adalah 3/6, dst. Probabilitas kumulatif selalu tidak berkurang.

Terkait: Anda dapat menggunakan bagan ogive untuk memvisualisasikan fungsi distribusi kumulatif.

Hubungan antara CDF dan PDF

Secara teknis, fungsi kepadatan probabilitas (pdf) merupakan turunan dari fungsi distribusi kumulatif (cdf).

Selain itu, luas di bawah kurva pdf antara tak terhingga negatif dan x sama dengan nilai x pada cdf.

Untuk penjelasan menyeluruh tentang hubungan pdf dan cdf, serta bukti mengapa pdf merupakan turunan dari cdf, lihat buku teks statistika.