Distribusi bernoulli

Oleh Benjamin anderson Agustus 4, 2023 Kemungkinan 0 Komentar

Artikel ini menjelaskan apa itu distribusi Bernoulli dan apa rumusnya. Selain itu, Anda akan menemukan properti distribusi Bernoulli dan latihan yang diselesaikan untuk lebih memahami maknanya.

Apa yang dimaksud dengan distribusi Bernoulli?

Distribusi Bernoulli , juga dikenal sebagai distribusi dikotomis , adalah distribusi probabilitas yang mewakili variabel diskrit yang hanya dapat mempunyai dua hasil: “berhasil” atau “gagal”.

Pada distribusi Bernoulli, “sukses” adalah hasil yang kita harapkan dan bernilai 1, sedangkan hasil “kegagalan” adalah hasil selain yang diharapkan dan bernilai 0. Jadi, jika peluang hasil “ sukses” adalah p , probabilitas hasil “kegagalan” adalah q=1-p .

$\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}$

Distribusi Bernoulli dinamai menurut ahli statistik Swiss Jacob Bernoulli.

Dalam statistik, distribusi Bernoulli terutama memiliki satu penerapan: menentukan probabilitas eksperimen yang hanya memiliki dua kemungkinan hasil: sukses dan gagal. Jadi percobaan yang menggunakan distribusi Bernoulli disebut uji Bernoulli atau percobaan Bernoulli.

Rumus distribusi Bernoulli

Jika p adalah peluang munculnya hasil “sukses”, peluang distribusi Bernoulli sama dengan p yang dipangkatkan ke x dikalikan dengan 1-p yang dipangkatkan ke 1-x . Dengan demikian peluang distribusi Bernoulli dapat dihitung dengan menggunakan rumus berikut :

Perhatikan bahwa dalam distribusi Bernoulli, nilai x hanya boleh 0 (gagal) atau 1 (berhasil).

Di sisi lain, rumus sebelumnya juga dapat ditulis menggunakan persamaan padanan berikut:

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.$

Contoh Distribusi Bernoulli

Setelah kita mengetahui pengertian distribusi Bernoulli dan apa rumusnya, mari kita lihat contoh konkrit dari distribusi Bernoulli.

Untuk memenangkan permainan, seorang pemain harus melempar dadu dan mendapatkan angka 2, jika tidak, pemain lain akan memenangkan permainan dan oleh karena itu permainan tersebut akan kalah. Hitunglah peluang keberhasilan dan kegagalan.

Sebuah dadu mempunyai enam kemungkinan hasil (1, 2, 3, 4, 5, 6), sehingga ruang sampel percobaannya adalah:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

Dalam kasus kita, satu-satunya keberhasilan adalah mendapatkan angka dua, jadi peluang keberhasilan ketika menerapkan aturan Laplace adalah satu dibagi dengan jumlah total hasil yang mungkin (6):

$p=\cfrac{1}{6}=0,1667$

Sebaliknya, jika muncul angka lain pada pelemparan dadu, maka hasil percobaan dianggap gagal, karena pemain akan kalah. Jadi, probabilitas ini setara dengan satu dikurangi probabilitas yang dihitung sebelumnya:

$q=1-p=1-\cfrac{1}{6}=\cfrac{5}{6}=0,8333$

Singkatnya, distribusi Bernoulli dari eksperimen ini ditentukan oleh ekspresi berikut:

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}\cfrac{5}{6} & \text{si } x=0\\[4ex]\cfrac{1}{6} & \text{si } x=1\end{array}\right.$

Seperti yang Anda lihat di bawah, probabilitas distribusi Bernoulli juga dapat dicari dengan menerapkan rumus di atas:

$P[X=x]=p^x\cdot (1-p)^{1-x}$

$\displaystyle P[X=0]=\left(\frac{1}{6}\right)^0\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-0}=\cfrac{5}{6}$

$\displaystyle P[X=1]=\left(\frac{1}{6}\right)^1\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-1}=\cfrac{1}{6}$

Ciri-ciri Distribusi Bernoulli

Di bawah ini adalah ciri-ciri terpenting dari distribusi Bernoulli.

Distribusi Bernoulli hanya dapat mengambil nilai 1 (berhasil) atau 0 (gagal).

$x=\{0\ ; 1\}$

Rata-rata distribusi Bernoulli setara dengan probabilitas terjadinya hasil “sukses”.

$E[X]=p$

Varians distribusi Bernoulli dapat dihitung dengan mengalikan probabilitas terjadinya hasil “sukses” dan “kegagalan”. Atau, secara ekuivalen, variansnya adalah p kali 1-p .

$Var(X)=p\cdot q=p\cdot (1-p)$

Nilai modus distribusi Bernoulli bergantung pada probabilitas “berhasil” dan “gagal”. Jadi, modus distribusi jenis ini ditentukan oleh ekspresi berikut:

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\displaystyle Mo=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } q>p\\[2ex]0 \ ;1 & \text{si } q=p\\[2ex] 1 & \text{si } q<ul><li> The formula for the probability function of a Bernoulli distribution is as follows:</li></ul>[latex] \displaystyle P[X=x]= \left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \displaystyle
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...> The formula for the probability function
\begin{array} on input line 8 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Improper \prevdepth.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Missing \cr inserted.
leading text: \end{document}
Missing $ inserted.
leading text: \end{document}
You can't use `\end' in internal vertical mode.
leading text: \end{document}
\begin{array} on input line 8 ended by \end{document}.
leading text: \end{document}
Missing } inserted.
leading text: \end{document}
Emergency stop.

Di sisi lain, fungsi probabilitas kumulatif dari distribusi Bernoulli ditentukan oleh ekspresi berikut:

$\displaystyle P[X\leq x]=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } x<0\\[2ex]1-p& \text{si }0 \leq x<1\\[2ex]1 & \text{si } x\geq 1\end{array}\right.$

Koefisien asimetri distribusi Bernoulli dihitung dengan persamaan berikut:

$A=\cfrac{q-p}{\sqrt{p\cdot q}}$

Demikian pula kurtosis distribusi Bernoulli bergantung pada nilai parameter p dan dapat dicari dengan menerapkan rumus berikut:

$C=\cfrac{3p^2-3p+1}{p(1-p)}$

Distribusi Bernoulli dan distribusi binomial

Pada bagian ini, kita akan melihat perbedaan antara distribusi Bernoulli dan distribusi binomial, karena keduanya merupakan dua jenis distribusi probabilitas yang saling berkaitan.

Distribusi binomial menghitung jumlah hasil “sukses” yang diperoleh dari serangkaian uji coba Bernoulli. Eksperimen Bernoulli ini harus independen namun harus mempunyai probabilitas keberhasilan yang sama.

Oleh karena itu, distribusi binomial adalah jumlah dari sekumpulan variabel yang mengikuti distribusi Bernoulli , semuanya ditentukan oleh parameter yang sama p .

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\displaystyle \sum_{i=1}^nX_i\sim \text{Bin}(n,p)\end{array}$

Jadi pada distribusi Bernoulli hanya terdapat satu percobaan Bernoulli, sedangkan pada distribusi binomial terdapat barisan percobaan Bernoulli.

Tentang Penulis

Benjamin anderson

Halo, saya Benjamin, pensiunan profesor statistika yang menjadi guru Statorial yang berdedikasi. Dengan pengalaman dan keahlian yang luas di bidang statistika, saya ingin berbagi ilmu untuk memberdayakan mahasiswa melalui Statorials. Baca selengkapnya