Pengenalan distribusi binomial negatif

Distribusi binomial negatif menggambarkan kemungkinan mengalami sejumlah kegagalan sebelum mengalami sejumlah keberhasilan dalam serangkaian percobaan Bernoulli.

Uji coba Bernoulli adalah eksperimen yang hanya memiliki dua kemungkinan hasil – “berhasil” atau “gagal” – dan probabilitas keberhasilannya sama setiap kali eksperimen dilakukan.

Contoh esai Bernoulli adalah lemparan koin. Koin hanya dapat mendarat pada dua kepala (kita mungkin menyebut kepala sebagai “pukulan” dan ekor sebagai “gagal”) dan probabilitas keberhasilan pada setiap pelemparan adalah 0,5, dengan asumsi koin tersebut adil.

Jika variabel acak _

P(X=k) = _k+r-1 C _k * (1-p) ^r *p ^k

Emas:

• k: jumlah kegagalan
• r: jumlah keberhasilan
• p: probabilitas keberhasilan pada percobaan tertentu
• _k+r-1 C _k : banyaknya kombinasi (k+r-1) benda yang diambil k sekaligus

Misalnya, kita melempar koin dan mendefinisikan peristiwa “sukses” sebagai pendaratan di kepala. Berapa peluang mengalami 6 kegagalan sebelum mengalami total 4 keberhasilan?

Untuk menjawab pertanyaan tersebut, kita dapat menggunakan distribusi binomial negatif dengan parameter sebagai berikut:

• k: jumlah kegagalan = 6
• r: jumlah keberhasilan = 4
• p: probabilitas keberhasilan pada percobaan tertentu = 0,5

Memasukkan angka-angka ini ke dalam rumus, kita menemukan bahwa probabilitasnya adalah:

P(X=6 kegagalan) = _6+4-1 C ₆ * (1-.5) ⁴ *(.5) ⁶ = (84)*(.0625)*(.015625) = 0.08203 .

Sifat-sifat distribusi binomial negatif

Distribusi binomial negatif mempunyai sifat sebagai berikut:

Jumlah rata-rata kegagalan yang kita harapkan sebelum kita mendapatkan r keberhasilan adalah pr/(1-p) .

Varians jumlah kegagalan yang diharapkan sebelum diperoleh r keberhasilan adalah pr / (1-p) ² .

Misalnya, kita melempar koin dan mendefinisikan peristiwa “sukses” sebagai pendaratan di kepala.

Jumlah rata-rata kegagalan (misalnya tail landing) yang kita harapkan sebelum mendapatkan 4 keberhasilan adalah pr/(1-p) = (.5*4) / (1-.5) = 4 .

Varians jumlah kegagalan yang kita harapkan sebelum mendapatkan 4 keberhasilan adalah pr/(1-p) ² = (.5*4)/(1-.5) ² = 8 .

Soal Praktek Distribusi Binomial Negatif

Gunakan soal latihan berikut untuk menguji pengetahuan Anda tentang distribusi binomial negatif.

Catatan: Kami akan menggunakan kalkulator distribusi binomial negatif untuk menghitung jawaban atas pertanyaan-pertanyaan ini.

Masalah 1

Pertanyaan: Misalkan kita melempar koin dan mendefinisikan peristiwa yang “sukses” sebagai pendaratan di kepala. Berapa peluang mengalami 3 kegagalan sebelum mengalami total 4 keberhasilan?

Jawaban: Menggunakan kalkulator distribusi binomial negatif dengan k = 3 kegagalan, r = 4 keberhasilan dan p = 0,5, kita menemukan bahwa P(X=3) = 0,15625 .

Masalah 2

Pertanyaan: Misalkan kita pergi dari rumah ke rumah menjual permen. Kami menganggap “sukses” jika seseorang membeli permen batangan. Peluang seseorang membeli sebatang permen adalah 0,4. Berapa peluang mengalami 8 kegagalan sebelum mengalami total 5 keberhasilan?

Jawaban: Menggunakan kalkulator distribusi binomial negatif dengan k = 8 kegagalan, r = 5 keberhasilan dan p = 0,4, kita menemukan bahwa P(X=8) = 0,08514 .

Masalah 3

Pertanyaan: Misalkan kita melempar sebuah dadu dan mendefinisikan pelemparan yang “berhasil” sebagai mendarat pada angka 5. Peluang munculnya dadu pada angka 5 pada pelemparan tertentu adalah 1/6 = 0,167. Berapa peluang mengalami 4 kegagalan sebelum mengalami total 3 keberhasilan?

Jawaban: Menggunakan kalkulator distribusi binomial negatif dengan k = 4 kegagalan, r = 3 keberhasilan dan p = 0,167, kita menemukan bahwa P(X=4) = 0,03364 .