Pengantar distribusi eksponensial

Distribusi eksponensial adalah distribusi probabilitas yang digunakan untuk memodelkan waktu kita harus menunggu hingga suatu peristiwa tertentu terjadi.

Distribusi ini dapat digunakan untuk menjawab pertanyaan seperti:

• Berapa lama pengecer harus menunggu pelanggan memasuki tokonya?
• Berapa lama laptop akan terus bekerja sebelum rusak?
• Berapa lama aki mobil akan terus bekerja sebelum mati?
• Berapa lama kita harus menunggu hingga terjadi letusan gunung berapi berikutnya di suatu wilayah tertentu?

Dalam setiap skenario, kami ingin menghitung berapa lama kami harus menunggu hingga peristiwa tertentu terjadi. Dengan demikian, setiap skenario dapat dimodelkan dengan menggunakan distribusi eksponensial.

Distribusi eksponensial: PDF dan CDF

Jika suatu variabel acak X mengikuti distribusi eksponensial, maka fungsi kepadatan probabilitas X dapat ditulis:

f (x; λ) = λe ^-λx

Emas:

• λ: parameter laju (dihitung sebagai λ = 1/μ)
• e: Konstanta yang kira-kira sama dengan 2,718

Fungsi distribusi kumulatif dari

F (x; λ) = 1 – e ^-λx

Dalam praktiknya, CDF paling sering digunakan untuk menghitung probabilitas terkait distribusi eksponensial.

Misalnya, jumlah rata-rata menit antara letusan geyser tertentu adalah 40 menit. Seberapa besar kemungkinan kita harus menunggu kurang dari 50 menit untuk terjadinya letusan?

Untuk mengatasi masalah ini, pertama-tama kita perlu menghitung parameter laju:

• λ = 1/µ
• = 1/40
• = 0,025

Kita dapat memasukkan λ = 0,025 dan x = 50 ke dalam rumus CDF:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 50) = 1 – e ^-0,025(50)
• P(X ≤ 50) = 0,7135

Peluang kita harus menunggu kurang dari 50 menit untuk letusan berikutnya adalah 0,7135 .

Visualisasikan distribusi eksponensial

Grafik berikut menunjukkan fungsi kepadatan probabilitas suatu variabel acak

Dan grafik berikut menunjukkan fungsi distribusi kumulatif dari variabel acak X yang mengikuti distribusi eksponensial dengan parameter laju berbeda:

Catatan: Lihat tutorial ini untuk mempelajari cara memplot distribusi eksponensial di R.

Sifat distribusi eksponensial

Distribusi eksponensial mempunyai sifat sebagai berikut:

• Rata-rata: 1 /λ
• Selisih: 1 / λ ²

Misalnya, jumlah rata-rata menit antara letusan geyser tertentu adalah 40 menit. Kita akan menghitung lajunya sebagai λ = 1/μ = 1/40 = 0,025.

Kami kemudian dapat menghitung properti berikut untuk distribusi ini:

• Rata-rata waktu tunggu letusan berikutnya: 1/λ = 1 /.025 = 40
• Variasi waktu tunggu letusan berikutnya: 1/λ ² = 1 /.025 ² = 1600

Catatan: Distribusi eksponensial juga memiliki properti tanpa memori , artinya probabilitas terjadinya peristiwa di masa depan tidak dipengaruhi oleh terjadinya peristiwa di masa lalu.

Soal Praktek Distribusi Eksponensial

Gunakan soal latihan berikut untuk menguji pengetahuan Anda tentang distribusi eksponensial.

Pertanyaan 1: Rata-rata pelanggan baru memasuki toko setiap dua menit. Setelah seorang pelanggan tiba, tentukan probabilitas bahwa seorang pelanggan baru akan tiba dalam waktu kurang dari satu menit.

Solusi 1: Waktu rata-rata antar klien adalah dua menit. Dengan demikian, tarifnya dapat dihitung sebagai berikut:

• λ = 1/µ
• = 1/2
• = 0,5

Kita dapat memasukkan λ = 0,5 dan x = 1 ke dalam rumus CDF:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 1) = 1 – e ^-0,5(1)
• P(X ≤ 1) = 0,3935

Peluang kita harus menunggu kurang dari satu menit hingga pelanggan berikutnya datang adalah 0,3935 .

Pertanyaan 2: Gempa bumi rata-rata terjadi setiap 400 hari di suatu wilayah tertentu. Setelah gempa bumi, tentukan peluang terjadinya lebih dari 500 hari sebelum gempa berikutnya terjadi.

Solusi 2: Waktu rata-rata antar gempa bumi adalah 400 hari. Dengan demikian, tarifnya dapat dihitung sebagai berikut:

• λ = 1/µ
• = 1/400
• = 0,0025

Kita dapat memasukkan λ = 0,0025 dan x = 500 ke dalam rumus CDF:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 1) = 1 – e ^-0,0025(500)
• P(X ≤ 1) = 0,7135

Peluang kita harus menunggu kurang dari 500 hari untuk terjadinya gempa berikutnya adalah 0,7135. Jadi peluang kita harus menunggu lebih dari 500 hari untuk terjadinya gempa berikutnya adalah 1 – 0.7135 = 0.2865 .

Pertanyaan 3: Sebuah pusat panggilan rata-rata menerima panggilan baru setiap 10 menit. Setelah pelanggan menelepon, tentukan kemungkinan pelanggan baru akan menelepon dalam waktu 10 hingga 15 menit.

Solusi 3: Waktu rata-rata antar panggilan adalah 10 menit. Dengan demikian, tarifnya dapat dihitung sebagai berikut:

• λ = 1/µ
• = 1/10
• = 0,1

Kita dapat menggunakan rumus berikut untuk menghitung probabilitas pelanggan baru akan menelepon dalam waktu 10-15 menit:

• P(10 < X ≤ 15) = (1 – e ^-0,1(15) ) – (1 – e ^-0,1(10) )
• P(10 < X≤ 15) = 0,7769 – 0,6321
• P(10 < X≤ 15) = 0,1448

Kemungkinan pelanggan baru akan menelepon dalam 10-15 menit. adalah 0,1448 .

Sumber daya tambahan

Tutorial berikut memberikan pengenalan tentang distribusi probabilitas umum lainnya.

Pengenalan distribusi normal
Pengenalan distribusi binomial
Pengenalan distribusi Poisson
Pengantar Distribusi Seragam