Distribusi gamma

Oleh Benjamin anderson Agustus 3, 2023 Kemungkinan 0 Komentar

Artikel ini menjelaskan apa itu distribusi gamma dan kegunaannya. Dengan demikian, Anda akan menemukan definisi distribusi gamma, propertinya, dan seperti apa representasi grafisnya.

Apa distribusi gammanya?

Distribusi gamma adalah distribusi probabilitas kontinu yang ditentukan oleh dua parameter karakteristik, α dan λ. Dengan kata lain, distribusi gamma bergantung pada nilai kedua parameternya: α adalah parameter bentuk dan λ adalah parameter skala.

Simbol distribusi gamma adalah huruf kapital Yunani Γ. Jadi, jika suatu variabel acak mengikuti distribusi gamma, ditulis sebagai berikut:

$X\sim \Gamma(\alpha,\lambda)$

Distribusi gamma juga dapat diparameterisasi menggunakan parameter bentuk k = α dan parameter skala terbalik θ = 1/λ. Dalam semua kasus, dua parameter yang menentukan distribusi gamma adalah bilangan real positif.

Biasanya, distribusi gamma digunakan untuk memodelkan kumpulan data yang condong ke kanan, sehingga terdapat konsentrasi data yang lebih besar di sisi kiri grafik. Misalnya distribusi gamma digunakan untuk memodelkan keandalan komponen listrik.

Diagram distribusi gamma

Grafik distribusi gamma bergantung pada nilai parameter karakteristiknya. Di bawah ini Anda dapat melihat bagaimana fungsi kepadatan distribusi gamma bervariasi tergantung pada parameter bentuk dan parameter skala.

Di sisi lain, Anda dapat melihat grafik fungsi probabilitas kumulatif dari distribusi gamma di bawah ini:

Karakteristik distribusi gamma

Selanjutnya kita akan melihat apa saja ciri-ciri distribusi gamma.

Grafik distribusi gamma seluruhnya ditentukan oleh dua parameter karakteristiknya: α adalah parameter bentuk dan λ adalah parameter skala.

$\alpha , \lambda >0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”16″ width=”62″ style=”vertical-align: -4px;”></p> </p> <ul> <li> Domain distribusi gamma hanya terdiri dari bilangan positif.</li> </ul> <p class=$ $x\in (0,+\infty)$

Rata-rata distribusi gamma sama dengan perbandingan antara parameter bentuk dan parameter skala, yaitu α/λ.

$E[X]=\cfrac{\alpha}{\lambda}$

Varians distribusi gamma setara dengan parameter bentuk dibagi kuadrat parameter skala.

$Var(X)=\cfrac{\alpha}{\lambda^2}$

Untuk nilai α kurang dari 1 maka modusnya adalah 0. Namun jika α sama dengan atau lebih besar dari 1 maka modus distribusi gamma dapat dihitung dengan rumus berikut:

$\begin{array}{c}Mo=0 \qquad \text{para } \alpha<1\\[2ex]Mo=\cfrac{\alpha-1}{\lambda} \qquad \text{para } \alpha\geq1\end{array}$

Rumus fungsi kerapatan distribusi gamma adalah:

$\displaystyle f(x)=\frac{\lambda(\lambda x)^{\alpha-1}e^{-\lambda x}}{\Gamma(\alpha)}$

Dimana Γ adalah fungsi gamma, yang didefinisikan sebagai:

$\displaystyle \Gamma(\alpha)=\int_0^\infty t^{\alpha-1}e^{-t}dt$

Rumus sebaran kumulatif suatu variabel acak yang ditentukan oleh sebaran gamma adalah sebagai berikut:

$\displaystyle F(x)=\int_0^x\frac{\lambda(\lambda y)^{\alpha-1}e^{-\lambda y}}{\Gamma(\alpha)}\;dy$

Jika parameter bentuk α sama dengan 1, maka distribusi gamma setara dengan distribusi eksponensial dengan parameter skala yang sama λ.

$X\sim \Gamma(1,\lambda) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ X\sim \text{Exp}(\lambda)$

Jika parameter skala λ adalah rata-rata, maka distribusi gamma merupakan kasus khusus dari distribusi chi-kuadrat .

$\displaystyle X\sim \Gamma\left(\frac{n}{2},\frac{1}{2}\right) \text{con } n\in \mathbb{N}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ X\sim \chi_n^2$

Tentang Penulis

Benjamin anderson

Halo, saya Benjamin, pensiunan profesor statistika yang menjadi guru Statorial yang berdedikasi. Dengan pengalaman dan keahlian yang luas di bidang statistika, saya ingin berbagi ilmu untuk memberdayakan mahasiswa melalui Statorials. Baca selengkapnya

Apa distribusi gammanya?

Diagram distribusi gamma

Karakteristik distribusi gamma

Tentang Penulis

Benjamin anderson

Tambahkan komentar