Ekspektasi matematis (atau nilai yang diharapkan)

Oleh Benjamin anderson Agustus 5, 2023 Kemungkinan 0 Komentar

Artikel ini menjelaskan ekspektasi matematis (atau nilai ekspektasi) dari variabel acak dan cara menghitungnya. Anda akan menemukan latihan harapan matematis yang terpecahkan. Selain itu, Anda dapat menemukan nilai yang diharapkan dari kumpulan data apa pun dengan kalkulator online.

Apa yang dimaksud dengan ekspektasi matematis (atau nilai yang diharapkan)?

Dalam statistik, ekspektasi , disebut juga nilai yang diharapkan , adalah angka yang mewakili nilai rata-rata suatu variabel acak. Ekspektasi matematis sama dengan jumlah semua produk yang dibentuk oleh nilai kejadian acak dan probabilitas terjadinya masing-masing.

Simbol ekspektasi adalah huruf kapital E, misalnya ekspektasi variabel statistik X diwakili oleh E(X).

Demikian pula, nilai ekspektasi matematis suatu kumpulan data bertepatan dengan meannya (rata-rata populasi).

Cara menghitung ekspektasi matematis

Untuk menghitung ekspektasi matematis suatu variabel diskrit, langkah-langkah berikut harus diikuti:

Kalikan setiap kejadian yang mungkin terjadi dengan probabilitas kejadiannya.
Jumlahkan semua hasil yang diperoleh pada langkah sebelumnya.
Nilai yang diperoleh adalah ekspektasi matematis (atau nilai yang diharapkan) dari variabel.

Jadi, rumus untuk menghitung ekspektasi matematis (atau nilai ekspektasi) suatu variabel diskrit adalah sebagai berikut:

ekspektasi matematis atau nilai yang diharapkan

👉 Anda dapat menggunakan kalkulator di bawah ini untuk menghitung nilai yang diharapkan dari kumpulan data apa pun.

Perhatikan bahwa rumus di atas hanya dapat digunakan jika variabel acaknya diskrit (dalam banyak kasus). Namun jika variabelnya kontinu, maka kita harus menggunakan rumus berikut untuk mendapatkan ekspektasi matematisnya:

$\displaystyle E(X)=\int_\mathbb{R} x\cdot f_x(x) dx$

Emas

$f_x$

adalah fungsi kepadatan variabel kontinu

contoh ekspektasi matematis

Mengingat definisi ekspektasi (atau nilai yang diharapkan), di bawah ini adalah contoh konkritnya sehingga Anda dapat melihat cara penghitungannya.

Seseorang berpartisipasi dalam permainan di mana dia bisa menang atau kalah uang berdasarkan angka yang muncul saat melempar dadu. Jika angka 1 muncul, Anda memenangkan $800, jika angka 2 atau 3 muncul, Anda kehilangan $500, dan jika angka 4, 5, atau 6 muncul, Anda memenangkan $100. Harga untuk berpartisipasi adalah $50. Apakah Anda merekomendasikan untuk berpartisipasi dalam permainan probabilitas ini?

Hal pertama yang harus dilakukan adalah menentukan probabilitas setiap kejadian. Karena sebuah dadu mempunyai enam sisi, maka peluang munculnya angka berapa pun adalah:

$p(\text{obtener un n\'umero})=\cfrac{1}{6}$

Oleh karena itu, peluang terjadinya setiap kejadian adalah:

$p(\text{ganar }\$800)=\cfrac{1}{6}$

$p(\text{perder }\$500)=2\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{2}{6}$

$p(\text{ganar }\$100)=3\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{3}{6}$

Sekarang setelah kita mengetahui probabilitas terjadinya setiap peristiwa, kita menerapkan rumus matematika untuk ekspektasi:

$\displaystyle E(X)=\sum_{i=1}^nx_i\cdot p_i$

Dan kami menghitung ekspektasi matematis (atau nilai yang diharapkan):

$E(X)=800\cdot\cfrac{1}{6}-500\cdot \cfrac{2}{6}+100\cdot\cfrac{3}{6}=\$16,67$

Nilai yang diharapkan lebih kecil dari harga mengikuti permainan ini, jadi lebih baik tidak bermain karena dalam jangka panjang Anda akan kehilangan uang. Bisa jadi jika Anda hanya berpartisipasi setelah mencapai 1 maka Anda akan mendapat untung besar, namun kemungkinan mengalami kerugian dalam jangka panjang tinggi.

Perlu dicatat bahwa hasil ekspektasi matematis terkadang merupakan nilai yang mustahil, misalnya dalam kasus ini $16,67 tidak dapat diperoleh.

Kalkulator ekspektasi

Masukkan sekumpulan data statistik ke dalam kalkulator berikut untuk menghitung nilai yang diharapkan. Anda harus memasukkan nilai setiap kejadian di kotak pertama dan probabilitas terjadinya di kotak kedua dengan urutan yang sama.

Data harus dipisahkan dengan spasi dan dimasukkan menggunakan titik sebagai pemisah desimal.

Sifat ekspektasi matematis

Sifat-sifat ekspektasi matematis adalah sebagai berikut:

Ekspektasi matematis dari sebuah konstanta adalah dirinya sendiri.

$E(k)=k$

Ekspektasi suatu variabel acak dikalikan skalar sama dengan ekspektasi variabel tersebut dikalikan skalar tersebut.

$E(k\cdot X)=k\cdot E(X)$

Ekspektasi matematis dari jumlah dua variabel setara dengan jumlah ekspektasi matematis masing-masing variabel.

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

Secara umum, mengalikan dua variabel menghasilkan ekspektasi matematis yang berbeda. Hasilnya hanya sama jika variabelnya independen.

$E(X\cdot Y)\neq E(X)\cdot E(Y)$

Jika semua nilai suatu variabel lebih besar atau sama dengan nol, maka ekspektasi matematis variabel tersebut juga positif atau sama dengan nol.

$X\geq 0 \ \longrightarrow \ E(X)\geq 0$

Jika semua nilai suatu variabel lebih kecil dari semua nilai variabel lain, maka ekspektasi kedua variabel tersebut mempunyai hubungan yang sama.

$X\leq Y \ \longrightarrow \ E(X)\leq E(Y)$

Jika kita mengetahui bahwa suatu variabel dibatasi oleh dua nilai, maka ekspektasi matematisnya secara logis juga terbatas.

$a <ul> <li> Si une variable est la combinaison linéaire d’une autre variable, ses attentes mathématiques satisfont à la même relation algébrique : </li> </ul> <p>[latex]Y=a+bX \ \longrightarrow \ E(Y)=a+b\cdot E(X)” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”41″ width=”1116″ style=”vertical-align: -5px;”></p> </p> <h2 class=$ Untuk apa ekspektasi matematis digunakan?

Pada bagian akhir ini, kita akan mendalami lebih dalam mengenai pengertian harapan matematis. Secara konkret, kita akan melihat untuk apa ukuran statistik ini digunakan dan dengan demikian kita akan lebih memahami konsepnya.

Ekspektasi matematis (atau nilai yang diharapkan) digunakan untuk memiliki nilai jumlah yang diharapkan diperoleh atau hilang dalam jangka panjang dalam ruang probabilistik. Dengan kata lain ekspektasi matematis menunjukkan return yang akan diperoleh dalam jangka panjang.

Ketika seseorang sedang mempertimbangkan untuk melakukan investasi, seperti membeli saham suatu perusahaan, salah satu parameter yang harus diperhatikan adalah ekspektasi matematis. Karena jika Anda melakukan investasi ini beberapa kali, keuntungan ekonomi yang Anda peroleh akan sama dengan nilai ekspektasi matematisnya. Hal ini dapat dianggap sebagai rata-rata manfaat yang diperoleh.

Demikian pula ekspektasi matematis juga digunakan dalam bidang lain seperti ekonometrika, fisika kuantum, perdagangan bahkan biologi.

Tentang Penulis

Benjamin anderson

Halo, saya Benjamin, pensiunan profesor statistika yang menjadi guru Statorial yang berdedikasi. Dengan pengalaman dan keahlian yang luas di bidang statistika, saya ingin berbagi ilmu untuk memberdayakan mahasiswa melalui Statorials. Baca selengkapnya