Hukum bilangan besar

Pada artikel ini kami menjelaskan apa itu hukum bilangan besar dan kegunaannya dalam probabilitas dan statistik. Anda juga akan melihat contoh penerapan hukum bilangan besar dan apa hubungan antara hukum ini dengan teorema limit pusat.

Apa hukum bilangan besar?

Dalam teori probabilitas, hukum bilangan besar adalah aturan yang menggambarkan hasil dari percobaan yang dilakukan berkali-kali. Lebih spesifiknya, hukum bilangan besar mengatakan bahwa rata-rata hasil yang diperoleh dari percobaan dalam jumlah besar akan mendekati nilai yang diharapkan.

Lebih jauh lagi, menurut hukum bilangan besar, semakin banyak percobaan yang kita lakukan, maka hasilnya akan semakin mendekati nilai yang diharapkan.

Misalnya, jika kita melempar koin sebanyak lima kali, kita hanya akan mendapatkan gambar satu kali (20%). Namun, jika koin dilempar beberapa kali (lebih dari 1000 kali pelemparan), hampir separuh hasilnya akan berupa gambar (50%) karena ini adalah nilai yang diharapkan. Ini adalah contoh hukum bilangan besar.

Asal usul hukum bilangan besar ditemukan pada abad ke-16 oleh Gerolamo Cardano, namun banyak penulis telah berpartisipasi dalam pengembangan hukum statistik ini sepanjang sejarah: Bernoulli, Poisson, Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli, Kolmogorov dan Khinchin.

Contoh hukum bilangan besar

Setelah melihat pengertian hukum bilangan besar, kita akan melihat contoh konkritnya agar lebih memahami maknanya. Dalam hal ini kita akan menganalisis probabilitas dari kemungkinan hasil yang dapat kita peroleh dengan melempar sebuah dadu.

Ada enam kemungkinan hasil pelemparan sebuah dadu (1, 2, 3, 4, 5 dan 6), sehingga peluang teoritis setiap kejadian dasar adalah:

Jadi kami kemudian akan melakukan simulasi peluncuran beberapa kali dan mencatat hasilnya dalam tabel frekuensi untuk memeriksa apakah hukum bilangan besar dipatuhi.

Agar Anda dapat melihat pentingnya jumlah percobaan yang dilakukan, pertama-tama kami akan mensimulasikan sepuluh peluncuran, lalu seratus, dan terakhir seribu. Jadi, hasil yang diperoleh dari simulasi lemparan dadu sebanyak 10 kali secara acak adalah sebagai berikut:

Seperti yang Anda lihat, probabilitas frekuensi yang diperoleh dengan mensimulasikan sepuluh lemparan saja tidak menyerupai probabilitas teoretis.

Namun seiring bertambahnya jumlah eksperimen, kedua metrik ini menjadi semakin mirip, lihat simulasi 100 peluncuran:

Sekarang probabilitas frekuensi yang dihitung untuk setiap angka pada dadu lebih mirip dengan probabilitas teoritisnya, namun kita masih mendapatkan nilai yang sangat berbeda.

Terakhir, kami melakukan prosedur yang sama tetapi mensimulasikan 1000 peluncuran:

Seperti yang bisa kita lihat pada tabel terakhir, sekarang nilai probabilitas frekuensi sangat dekat dengan probabilitas teoritis.

Ringkasnya, semakin banyak kita menambah jumlah eksperimen yang dilakukan, semakin besar nilai probabilitas frekuensi suatu peristiwa mendekati probabilitas terjadinya teoritis. Oleh karena itu, hukum bilangan besar dipatuhi, karena semakin banyak iterasi yang kita lakukan, semakin mirip nilai eksperimen dengan nilai teoritis.

Batasan hukum bilangan besar

Hukum bilangan besar berlaku di sebagian besar kasus, namun jenis distribusi probabilitas tertentu tidak memenuhi teorema statistik ini.

Misalnya, distribusi Cauchy atau distribusi Pareto (α<1) tidak konvergen seiring bertambahnya jumlah percobaan. Hal ini disebabkan oleh besarnya jumlah distribusi yang berarti tidak mempunyai nilai yang diharapkan.

Di sisi lain, beberapa eksperimen bersifat bias karena karakteristiknya, sehingga peneliti cenderung mengubah hasil (sengaja atau tidak) menjadi rasional, psikologis, ekonomi, dll. alasan. Dalam kasus ini, hukum jumlah besar tidak membantu menyelesaikan bias, namun bias akan tetap ada meskipun jumlah percobaan meningkat.

Hukum bilangan besar dan teorema limit pusat

Hukum bilangan besar dan teorema limit pusat adalah dua aturan dasar probabilitas dan statistik yang berkaitan erat. Jadi di bagian ini kita akan melihat apa hubungan mereka dan apa perbedaannya.

Teorema batas pusat, juga disebut teorema batas pusat, menyatakan bahwa distribusi rata-rata sampel mendekati distribusi normal seiring bertambahnya ukuran sampel, terlepas dari distribusi probabilitas populasi.

Perbedaan antara hukum bilangan besar dan teorema limit pusat adalah hukum bilangan besar mengatakan bahwa rata-rata dari sejumlah besar percobaan mendekati nilai yang diharapkan, namun teorema batas pusat mengatakan bahwa rata-rata dari banyak percobaan sampel mendekati distribusi normal.