Interval kepercayaan untuk mean

Oleh Benjamin anderson Agustus 3, 2023 Statistik 0 Komentar

Artikel ini menjelaskan apa itu interval kepercayaan mean dalam statistik dan kegunaannya. Demikian pula, Anda akan menemukan cara menghitung interval kepercayaan mean serta latihan langkah demi langkah.

Berapa interval kepercayaan meannya?

Interval kepercayaan untuk mean adalah interval yang memberikan kisaran nilai yang diperbolehkan untuk mean suatu populasi. Dengan kata lain, interval kepercayaan untuk mean memberikan kita nilai maksimum dan nilai minimum yang menghubungkan nilai mean populasi dengan margin kesalahan.

Misalnya, jika selang kepercayaan 95% untuk rata-rata populasi adalah (6,10), ini berarti 95% rata-rata populasi berada di antara 6 dan 10.

Oleh karena itu, interval kepercayaan mean digunakan untuk memperkirakan dua nilai di mana letak mean populasi. Dengan demikian, interval kepercayaan dari mean sangat berguna untuk memperkirakan mean suatu populasi ketika semua nilainya tidak diketahui.

Rumus interval kepercayaan untuk mean

Dengan asumsi proses memasukkan variabel berjalan seperti ini:

$Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$

Interval kepercayaan mean dihitung dengan menjumlahkan dan mengurangkan nilai Z _α/2 dari mean sampel dikalikan dengan simpangan baku (σ) dan dibagi dengan akar kuadrat ukuran sampel (n). Oleh karena itu, rumus untuk menghitung selang kepercayaan mean adalah:

$\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$

Untuk ukuran sampel besar dan tingkat kepercayaan 95%, nilai kritisnya adalah Z _α/2 = 1,96 dan untuk tingkat kepercayaan 99%, nilai kritisnya adalah Z _α/2 = 2,576.

Rumus di atas digunakan bila varians populasi diketahui. Namun, jika varians populasi tidak diketahui, yang merupakan kasus yang paling sering terjadi, interval kepercayaan dari mean dihitung menggunakan rumus berikut:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

Emas:

$\overline{x}$

adalah sarana sampel.
$t_{\alpha/2}$

adalah nilai distribusi t Student n-1 derajat kebebasan dengan probabilitas α/2.
$s$

adalah deviasi standar sampel.
$n$

adalah ukuran sampel.

Contoh penghitungan interval kepercayaan untuk mean

Agar Anda dapat melihat bagaimana interval kepercayaan untuk rata-rata suatu populasi dihitung, kami memberikan contoh di bawah ini yang diselesaikan langkah demi langkah.

Kami memiliki sampel 8 observasi dengan nilai yang ditunjukkan di bawah ini. Berapakah selang kepercayaan populasi pada tingkat kepercayaan 95%?

206 203 201 212
194 176 208 201

Seperti yang telah kita lihat pada bagian sebelumnya, rumus untuk memperoleh selang kepercayaan suatu mean populasi jika simpangan baku populasi tidak diketahui adalah sebagai berikut:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

Jadi, untuk menentukan selang kepercayaan mean, pertama-tama kita harus menghitung mean sampel dan deviasi standar.

$\begin{array}{c}\mu =200,13 \\[4ex]s=11,13\end{array}$

➤ Lihat: Kalkulator Rata-rata Aritmatika
➤ Lihat: Kalkulator deviasi standar

Karena kita ingin mencari interval kepercayaan dengan tingkat kepercayaan 1-α=95% dan ukuran sampel adalah 8, kita perlu mengakses tabel distribusi t Student dan melihat nilai mana yang sesuai dengan t _0.025|7 .

$1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}t_{\alpha/2| n-1}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]t_{0,025| 7}=2,365\end{array}$

➤ Lihat : Nilai tabel distribusi Student t

Jadi kita terapkan rumus interval kepercayaan untuk mean dan melakukan perhitungan untuk mencari limit interval:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

$\displaystyle \left(200,13-2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \ , \ 200,13+2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \right)$

$\displaystyle \left(190,82 \ , \ 209,43 \right)$

Kesimpulannya, interval kepercayaan yang dihitung menunjukkan bahwa dengan tingkat kepercayaan 95%, rata-rata populasi akan berada di antara 190,82 dan 209,43.

Tentang Penulis

Benjamin anderson

Halo, saya Benjamin, pensiunan profesor statistika yang menjadi guru Statorial yang berdedikasi. Dengan pengalaman dan keahlian yang luas di bidang statistika, saya ingin berbagi ilmu untuk memberdayakan mahasiswa melalui Statorials. Baca selengkapnya

Berapa interval kepercayaan meannya?

Rumus interval kepercayaan untuk mean

Contoh penghitungan interval kepercayaan untuk mean

Tentang Penulis

Benjamin anderson

Tambahkan komentar