Bagaimana menemukan probabilitas "setidaknya tiga" sukses

Kita dapat menggunakan rumus umum berikut untuk mencari peluang paling sedikit tiga keberhasilan dalam serangkaian percobaan:

 P(at least 3) = 1 - P(0 successes) - P(1 success) - P(2 successes)

Pada rumus di atas, kita dapat menghitung setiap probabilitas dengan menggunakan rumus distribusi binomial sebagai berikut :

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Emas:

• n: jumlah percobaan
• k: jumlah keberhasilan
• p: probabilitas keberhasilan pada percobaan tertentu
• _n C _k : banyaknya cara untuk memperoleh k keberhasilan dalam n percobaan

Contoh berikut menunjukkan cara menggunakan rumus ini untuk mencari probabilitas “setidaknya tiga” keberhasilan dalam skenario berbeda.

Contoh 1: Percobaan lemparan bebas

Ty melakukan 25% percobaan lemparan bebasnya. Jika dia mencoba 5 kali lemparan bebas, tentukan peluang dia berhasil melakukan paling sedikit tiga kali lemparan bebas.

Pertama, mari kita hitung probabilitas dia melakukan tepat nol, tepat satu, atau tepat dua lemparan bebas:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,25 ⁰ * (1-0,25) ^5-0 = 1 * 1 * 0,75 ⁵ = 0,2373

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,25 ¹ * (1-0,25) ^5-1 = 5 * 0,25 * 0,75 ⁴ = 0,3955

P(X=2) = ₅ C ₂ * 0,25 ² * (1-0,25) ^5-2 = 10 * 0,0625 * 0,75 ³ = 0,2636

Selanjutnya, mari kita masukkan nilai-nilai ini ke dalam rumus berikut untuk mencari peluang Ty melakukan setidaknya tiga lemparan bebas:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0,2373 – 0,3955 – 0,2636
• P(X≥3) = 0,1036

Peluang Ty melakukan sedikitnya tiga lemparan bebas dalam lima kali percobaan adalah 0,1036 .

Contoh 2: Widget

Di pabrik tertentu, 2% dari seluruh widget rusak. Dalam sampel acak yang terdiri dari 10 widget, tentukan probabilitas paling sedikit dua widget rusak.

Pertama, mari kita hitung probabilitas bahwa tepat nol, tepat satu, atau tepat dua yang cacat:

P(X=0) = ₁₀ C ₀ * 0,02 ⁰ * (1-0,02) ^10-0 = 1 * 1 * 0,98 ¹⁰ = 0,8171

P(X=1) = ₁₀ C ₁ * 0,02 ¹ * (1-0,02) ^10-1 = 10 * 0,02 * 0,98 ⁹ = 0,1667

P(X=2) = ₁₀ C ₂ * 0,02 ² * (1-0,02) ^10-2 = 45 * 0,0004 * 0,98 ⁸ = 0,0153

Selanjutnya, mari masukkan nilai-nilai ini ke dalam rumus berikut untuk mencari kemungkinan setidaknya tiga widget rusak:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0,8171 – 0,1667 – 0,0153
• P(X≥3) = 0,0009

Probabilitas setidaknya tiga widget rusak dalam sampel acak 10 ini adalah 0,0009 .

Contoh 3: Pertanyaan trivia

Bob menjawab 60% pertanyaan trivia dengan benar. Jika kita menanyakan kepadanya 5 pertanyaan trivia, tentukan peluang dia menjawab paling sedikit tiga pertanyaan dengan benar.

Pertama, mari kita hitung probabilitas dia menjawab tepat nol, tepat satu, atau tepat dua dengan benar:

P(X=0) = ₅ C ₀ * 0,60 ⁰ * (1-0,60) ^5-0 = 1 * 1 * 0,40 ⁵ = 0,01024

P(X=1) = ₅ C ₁ * 0,60 ¹ * (1-0,60) ^5-1 = 5 * 0,60 * 0,40 ⁴ = 0,0768

P(X=2) = ₅ C ₂ * 0,60 ² * (1-0,60) ^5-2 = 10 * 0,36 * 0,40 ³ = 0,2304

Selanjutnya, mari kita masukkan nilai-nilai ini ke dalam rumus berikut untuk mencari peluang dia menjawab setidaknya tiga pertanyaan dengan benar:

• P(X≥3) = 1 – P(X=0) – P(X=1) – P(X=2)
• P(X≥3) = 1 – 0,01024 – 0,0768 – 0,2304
• P(X≥3) = 0,6826

Peluang dia menjawab paling sedikit tiga dari lima pertanyaan dengan benar adalah 0,6826 .

Bonus: Probabilitas setidaknya tiga kalkulator

Gunakan kalkulator ini untuk secara otomatis mencari probabilitas “setidaknya tiga” keberhasilan, berdasarkan probabilitas keberhasilan dalam percobaan tertentu dan jumlah total percobaan.