Kuartil

Oleh Benjamin anderson Agustus 5, 2023 Statistik 0 Komentar

Pada artikel ini kami menjelaskan apa itu kuartil. Anda akan menemukan definisi setiap kuartil, cara menghitungnya, dan beberapa contoh nyata. Kami juga menunjukkan cara menghitung kuartil untuk data yang dikelompokkan. Selain itu, Anda akan dapat menghitung kuartil dari kumpulan data apa pun dengan kalkulator online.

Apa itu kuartil?

Dalam statistik, kuartil adalah tiga nilai yang membagi sekumpulan data terurut menjadi empat bagian yang sama besar. Jadi, kuartil pertama, kedua, dan ketiga masing-masing mewakili 25%, 50%, dan 75% dari seluruh data statistik.

Kuartil diwakili oleh huruf kapital Q dan indeks kuartil, sehingga kuartil pertama adalah Q ₁ , kuartil kedua adalah Q ₂ , dan kuartil ketiga adalah Q ₃ .

👉 Anda dapat menggunakan kalkulator di bawah ini untuk menghitung kuartil kumpulan data apa pun.

Perlu dicatat bahwa kuartil adalah ukuran posisi non-pusat seperti halnya kuintil, desil, dan persentil. Anda dapat memeriksa masing-masing jenis kuantil ini di halaman web ini.

kuartil pertama

Kuartil pertama , disebut juga kuartil 1, adalah nilai yang lebih besar dari 25% data statistik dalam suatu sampel. Dengan kata lain, kuartil pertama mewakili lebih dari 25% data observasi.

Kuartil pertama dinyatakan dengan simbol Q ₁ dan digunakan untuk menunjukkan nilai data terkecil dalam sampel.

kuartil kedua

Kuartil kedua , disebut juga kuartil 2, adalah nilai yang lebih besar dari 50% data statistik dalam suatu sampel. Oleh karena itu, kuartil kedua memisahkan kumpulan data menjadi dua bagian dan bertepatan dengan median dan desil kelima.

Simbol kuartil kedua adalah _Q2 .

kuartil ketiga

Kuartil ketiga , disebut juga kuartil ke-3, adalah nilai yang melebihi 75% data statistik dalam suatu sampel. Dengan kata lain, kuartil ketiga mewakili lebih dari 75% data yang dikumpulkan.

Kuartil ketiga dinyatakan dengan simbol Q ₃ dan mewakili nilai terbesar dalam sampel.

Cara menghitung kuartil

Untuk menghitung posisi kuartil suatu kumpulan data statistik, Anda harus mengalikan jumlah kuartil dengan jumlah total data ditambah satu dan membagi hasilnya dengan empat.

Oleh karena itu, rumus kuartil adalah sebagai berikut:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{4} \qquad k=1, 2, 3$

Harap diperhatikan: rumus ini memberitahu kita posisi kuartil, bukan nilai kuartil. Kuartil adalah data yang terletak pada posisi yang diperoleh rumus.

Namun, terkadang hasil rumus ini memberi kita angka desimal. Oleh karena itu kita harus membedakan dua kasus tergantung pada apakah hasilnya berupa bilangan desimal atau bukan:

Jika hasil rumusnya berupa bilangan tanpa bagian desimal , maka kuartil adalah data yang posisinya disediakan oleh rumus di atas.
Jika hasil rumusnya berupa bilangan dengan bagian desimal , maka nilai kuartil dihitung menggunakan rumus berikut:

$Q=x_i+d\cdot (x_{i+1}-x_i)$

Dimana x _i dan x _i+1 adalah bilangan posisi di mana letak bilangan yang diperoleh rumus pertama, dan d adalah bagian desimal dari bilangan yang diperoleh rumus pertama.

Nah, mungkin menghitung kuartil sangatlah rumit bagi Anda, karena banyak hal yang perlu diperhatikan. Namun dengan dua contoh di bagian selanjutnya, Anda akan melihat betapa sebenarnya hal ini cukup sederhana.

Catatan : Dalam komunitas ilmiah, tidak ada konsensus tentang cara menghitung kuartil, jadi Anda dapat menemukan buku statistik yang menjelaskannya sedikit berbeda.

Contoh penghitungan kuartil

Untuk memahami sepenuhnya bagaimana kuartil dihitung, Anda akan menemukan dua latihan yang diselesaikan di bawah. Pada kuartil pertama adalah bilangan bulat dan pada kuartil kedua adalah bilangan desimal, sehingga Anda dapat melihat dua kasus mana yang dapat Anda temukan.

Contoh 1

Hitung tiga kuartil dari kumpulan data berikut:

Seperti yang kita lihat di atas, rumus menentukan kuartil adalah:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{4} \qquad k=1, 2, 3$

Dalam hal ini n , jumlah observasi adalah 15, oleh karena itu kita harus mengganti n dengan 15 dan k dengan 1 untuk mencari kuartil pertama:

$\cfrac{1\cdot (15+1)}{4}=4 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad Q_1=39$

Oleh karena itu, kuartil pertama adalah bilangan pada posisi empat dari daftar nilai yang diurutkan, yang dalam hal ini adalah 39.

Dengan cara yang sama, kita menghitung kuartil kedua dengan mengganti koefisien k dengan a 2:

$\cfrac{2\cdot (15+1)}{4}=8 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad Q_2=48$

Oleh karena itu, kuartil 2 adalah angka kedelapan dalam daftar yang diurutkan, yang sesuai dengan nilai 48.

Terakhir, kami menerapkan rumus untuk terakhir kalinya dengan k =3 untuk menghitung kuartil ketiga:

$\cfrac{3\cdot (15+1)}{4}=12 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad Q_3=60$

Kuartil 3 sesuai dengan data pada posisi kedua belas, yaitu 60.

Contoh 2

Temukan tiga kuartil dari seri data berikut:

Pada contoh kedua ini, kita mempunyai 24 observasi, sehingga angka yang diperoleh dari rumus kuartil adalah desimal.

Pertama-tama kita menghitung posisi kuartil pertama dengan mensubstitusi k dengan 1 ke dalam rumus umum:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{4}$

$\cfrac{1\cdot (24+1)}{4}=6,25$

Namun didapat angka desimalnya 6,25, jadi kuartil pertama terletak di antara data keenam dan ketujuh, yaitu masing-masing 22 dan 25. Oleh karena itu, untuk menghitung kuartil eksak kita perlu menerapkan rumus berikut:

$Q=x_i+d\cdot (x_{i+1}-x_i)$

Dalam hal ini x _i adalah 22, x _i+1 25 dan d adalah bagian desimal dari bilangan yang diperoleh, yaitu 0,25. Belum:

$Q_1=22+0,25\cdot (25-22)=22,75$

Sekarang kita melakukan prosedur yang sama untuk mencari kuartil kedua:

$\cfrac{2\cdot (24+1)}{4}=12,5$

Sekali lagi kita mendapatkan angka desimal dari rumusnya, dalam hal ini adalah 12,5. Oleh karena itu kita harus menggunakan rumus yang sama dengan angka kedua belas dan ketiga belas pada tabel data, yaitu 49 dan 50:

$Q_2=49+0,5\cdot (50-49)=49,5$

Terakhir, kami ulangi proses yang sama untuk mendapatkan kuartil ketiga:

$\cfrac{3\cdot (24+1)}{4}=18,75$

Tetapi angka 18,75 berada di antara angka 18 dan 19, sehingga kuartil ketiga akan berada di antara nilai posisi tersebut (71 dan 73). Lebih tepatnya, ini adalah nilai yang kita peroleh dari ekspresi berikut:

$Q_3=71+0,75\cdot (73-71)=72,5$

kalkulator kuartil

Masukkan kumpulan data statistik ke dalam kalkulator di bawah ini untuk menghitung kuartil. Data harus dipisahkan dengan spasi dan dimasukkan menggunakan titik sebagai pemisah desimal.

Kuartil dalam data berkelompok

Untuk menghitung kuartil ketika data dikelompokkan ke dalam interval, pertama-tama kita perlu mencari interval atau bin yang termasuk dalam kuartil tersebut menggunakan rumus berikut:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{4} \qquad k=1, 2, 3$

Oleh karena itu, kuartil akan berada dalam interval yang frekuensi kumulatif absolutnya lebih besar daripada angka yang diperoleh dengan ekspresi sebelumnya.

Dan setelah kita mengetahui interval di mana kuartil berada, kita harus menerapkan rumus berikut untuk mencari nilai pasti dari kuartil tersebut:

$Q_k=L_i+ \cfrac{\displaystyle\frac{k\cdot (n+1)}{4}-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i \qquad k=1,2,3$

Emas:

L _i adalah batas bawah interval di mana kuartil berada.
n adalah jumlah total pengamatan.
F _i-1 adalah frekuensi absolut kumulatif dari interval sebelumnya.
f _i adalah frekuensi absolut dari interval di mana kuartil berada.
I _i adalah lebar interval kuartil.

Sebagai contoh, berikut adalah latihan menghitung kuartil dalam serangkaian data yang dikelompokkan:

Untuk menghitung kuartil pertama, Anda harus terlebih dahulu menentukan interval di mana kuartil tersebut berada. Untuk melakukan ini, kami menerapkan rumus berikut:

$\cfrac{k\cdot (n+1)}{4}$

$\cfrac{1\cdot (30+1)}{4} =7,75 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [50,60)$

Jadi kuartil pertama akan berada pada interval yang frekuensi absolut kumulatifnya langsung lebih besar dari 7,75, dalam hal ini adalah interval [50,60) yang frekuensi absolut kumulatifnya adalah 15. Dan setelah kita mengetahui interval kuartilnya, kita menggunakan rumus proses kedua. :

$Q_k=L_i+\cfrac{\displaystyle\frac{k\cdot (n+1)}{4}-F_{i-1}}{f_i}\cdot I_i$

$Q_1=50+\cfrac{\displaystyle\frac{1\cdot (30+1)}{4}-7}{8}\cdot 10=50,94$

Kami menerapkan prosedur yang sama lagi untuk mendapatkan kuartil kedua. Pertama-tama kita tentukan interval letak kuartil:

$\cfrac{2\cdot (30+1)}{4} =15,5 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [60,70)$

Interval yang frekuensi absolut kumulatifnya segera lebih besar dari 15,5 adalah [60,70), dengan frekuensi absolut kumulatif 26. Oleh karena itu, kuartil kedua adalah:

$Q_2=60+\cfrac{\displaystyle\frac{2\cdot (30+1)}{4}-15}{11}\cdot 10=60,45$

Dan terakhir, kita ulangi proses untuk mencari kuartil ketiga. Pertama-tama kita hitung interval yang memuat kuartil:

$\cfrac{3\cdot (30+1)}{4} =22,5 \quad \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\quad [60,70)$

Frekuensi absolut kumulatif tepat di atas 23,25 adalah 26, sehingga rentang kuartil ketiga adalah [60,70). Oleh karena itu kami menerapkan rumus untuk menghitung kuartil dengan interval ini:

$Q_3=60+\cfrac{\displaystyle\frac{3\cdot (30+1)}{4}-15}{11}\cdot 10=67,5$

Untuk apa kuartil digunakan?

Kuartil merupakan ukuran posisi, sehingga digunakan untuk mengetahui bagaimana posisi data. Dengan kata lain, nilai ketiga kuartil memungkinkan kita mengetahui apakah item data acak dalam sampel sangat besar, sangat kecil, atau merupakan nilai rata-rata.

Jika kita mengambil sebagian data dari sampel secara acak, kita dapat mengetahui apakah nilainya tinggi atau rendah dengan membandingkannya dengan kuartil. Jika nilai data acak lebih kecil dari kuartil pertama maka nilainya kecil, tetapi jika nilainya lebih besar dari kuartil ketiga maka nilainya besar. Begitu pula jika nilai data tersebut berada di antara kuartil pertama dan ketiga, maka itu merupakan nilai perantara.

Di sisi lain, kuartil juga digunakan untuk menghitung ukuran statistik lainnya, seperti rentang antarkuartil (atau rentang interkuartil), dan untuk membuat diagram, seperti plot kotak dan kumis (atau plot kotak).

Tentang Penulis

Benjamin anderson

Halo, saya Benjamin, pensiunan profesor statistika yang menjadi guru Statorial yang berdedikasi. Dengan pengalaman dan keahlian yang luas di bidang statistika, saya ingin berbagi ilmu untuk memberdayakan mahasiswa melalui Statorials. Baca selengkapnya

Apa itu kuartil?

kuartil pertama

kuartil kedua

kuartil ketiga

Cara menghitung kuartil

Contoh penghitungan kuartil

Contoh 1

Contoh 2

kalkulator kuartil

Kuartil dalam data berkelompok

Untuk apa kuartil digunakan?

Tentang Penulis

Benjamin anderson

Tambahkan komentar