Pendekatan binomial normal: definisi & contoh

Jika X adalah variabel acak yang mengikuti distribusi binomial dengan n percobaan dan probabilitas keberhasilan p untuk suatu percobaan tertentu, maka kita dapat menghitung mean (μ ) dan deviasi standar (σ) dari:

• μ = np
• σ = √ np(1-p)

Ternyata jika n cukup besar, maka kita dapat menggunakan distribusi normal untuk memperkirakan probabilitas yang berkaitan dengan distribusi binomial. Ini disebut pendekatan binomial normal .

Agar n menjadi “cukup besar”, ia harus memenuhi kriteria berikut:

• np ≥ 5
• n(1-p) ≥ 5

Jika kedua kriteria tersebut terpenuhi, kita dapat menggunakan distribusi normal untuk menjawab pertanyaan probabilitas terkait distribusi binomial.

Namun distribusi normal merupakan distribusi probabilitas kontinu sedangkan distribusi binomial merupakan distribusi probabilitas diskrit, sehingga perlu menerapkan koreksi kontinuitas saat menghitung probabilitas.

Sederhananya, koreksi kontinuitas adalah nama yang diberikan untuk menambah atau mengurangi 0,5 dari nilai x diskrit.

Misalnya, kita ingin mencari peluang sebuah koin mendarat di kepala yang kurang dari atau sama dengan 45 kali dalam 100 kali pelemparan. Artinya, kita ingin mencari P(X ≤ 45). Untuk menggunakan distribusi normal untuk memperkirakan distribusi binomial, kita perlu mencari P(X ≤ 45,5).

Tabel berikut menunjukkan kapan Anda harus menambah atau mengurangi 0,5, bergantung pada jenis probabilitas yang ingin Anda temukan:

Contoh langkah demi langkah berikut menunjukkan cara menggunakan distribusi normal untuk memperkirakan distribusi binomial.

Contoh: perkiraan normal binomial

Misalkan kita ingin mengetahui probabilitas sebuah koin mendarat di kepala kurang dari atau sama dengan 43 kali dalam 100 kali pelemparan.

Dalam situasi ini kami memiliki nilai-nilai berikut:

• n (jumlah percobaan) = 100
• X (jumlah keberhasilan) = 43
• p (probabilitas keberhasilan pada percobaan yang diberikan) = 0,50

Untuk menghitung probabilitas koin mendarat di kepala yang kurang dari atau sama dengan 43 kali, kita dapat menggunakan langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Verifikasi bahwa ukuran sampel cukup besar untuk menggunakan perkiraan normal.

Pertama-tama, kita perlu memeriksa apakah kriteria berikut terpenuhi:

• np ≥ 5
• n(1-p) ≥ 5

Dalam hal ini kita memiliki:

• np = 100*0,5 = 50
• n(1-p) = 100*(1 – 0,5) = 100*0,5 = 50

Kedua angka tersebut lebih besar dari 5, sehingga kita dapat menggunakan perkiraan normal dengan aman.

Langkah 2: Tentukan koreksi kontinuitas yang akan diterapkan.

Mengacu pada tabel di atas, kita melihat bahwa kita harus menambahkan 0,5 ketika bekerja dengan probabilitas dalam bentuk X ≤ 43. Jadi, kita akan menemukan P(X< 43.5).

Langkah 3: Temukan mean (μ) dan deviasi standar (σ) dari distribusi binomial.

μ = n*p = 100*0,5 = 50

σ = √ n*p*(1-p) = √ 100*.5*(1-.5) = √ 25 = 5

Langkah 4: Temukan skor-z menggunakan mean dan deviasi standar yang ditemukan pada langkah sebelumnya.

z = (x – μ) / σ = (43,5 – 50) / 5 = -6,5 / 5 = -1,3.

Langkah 5: Temukan probabilitas yang terkait dengan skor-z.

Kita dapat menggunakan kalkulator CDF normal untuk mencari luas di bawah kurva normal standar di sebelah kiri -1,3 adalah 0,0968 .

Jadi peluang munculnya mata uang logam yang kurang dari atau sama dengan 43 kali dalam 100 kali pelemparan adalah 0,0968 .

Contoh ini menggambarkan hal berikut:

• Kami mempunyai situasi di mana variabel acak mengikuti distribusi binomial.
• Kami ingin mencari probabilitas mendapatkan nilai tertentu untuk variabel acak ini.
• Karena ukuran sampel (n = 100 percobaan) cukup besar, kami dapat menggunakan distribusi normal untuk memperkirakan distribusi binomial.

Ini adalah contoh lengkap bagaimana menggunakan pendekatan normal untuk mencari probabilitas yang terkait dengan distribusi binomial.