Persamaan regresi

Oleh Benjamin anderson Agustus 2, 2023 Statistik 0 Komentar

Artikel ini menjelaskan apa itu persamaan regresi dan kegunaannya. Demikian pula, Anda akan mempelajari cara menemukan persamaan regresi, latihan yang diselesaikan, dan terakhir, kalkulator online untuk menghitung persamaan regresi untuk kumpulan data apa pun.

Apa persamaan regresinya?

Persamaan regresi adalah persamaan yang paling sesuai dengan dot plot, artinya persamaan regresi merupakan perkiraan terbaik dari sekumpulan data.

Persamaan regresinya berbentuk y=β ₀ +β ₁ x, dimana β ₀ adalah konstanta persamaan dan β ₁ adalah kemiringan persamaan.

$y=\beta_0+\beta_1x$

Jika dilihat persamaan regresinya adalah persamaan garis. Artinya hubungan antara variabel bebas X dengan variabel terikat Y dimodelkan sebagai hubungan linier, karena garis tersebut mewakili hubungan linier.

Jadi, persamaan regresi memungkinkan kita menghubungkan secara matematis variabel independen dan variabel dependen suatu kumpulan data. Meskipun persamaan regresi pada umumnya tidak mampu menentukan secara tepat nilai setiap observasi, namun tetap digunakan untuk memperoleh perkiraan nilainya.

Seperti yang Anda lihat pada grafik sebelumnya, persamaan regresi membantu kita melihat tren kumpulan data dan jenis hubungan apa yang ada antara variabel independen dan variabel dependen.

Cara menghitung persamaan regresi

Rumus untuk menghitung koefisien persamaan regresi linier sederhana adalah sebagai berikut:

$\begin{array}{c}\beta_1=\cfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}\\[12ex]\beta_0=\overline{y}-\beta_1\overline{x}\end{array}$

Emas:

$\beta_0$

adalah konstanta persamaan regresi.
$\beta_1$

adalah kemiringan persamaan regresi.
$x_i$

adalah nilai variabel bebas X dari data i.
$y_i$

adalah nilai variabel terikat Y dari data i.
$\overline{x}$

adalah rata-rata dari nilai variabel bebas
$\overline{y}$

adalah rata-rata nilai variabel terikat Y.

Contoh penghitungan persamaan regresi

Setelah mengikuti ujian statistika, lima siswa ditanyai berapa jam belajar yang mereka habiskan untuk ujian tersebut, datanya ditunjukkan pada tabel di bawah ini. Hitung persamaan regresi dari data statistik yang dikumpulkan untuk menghubungkan secara linier jam belajar dengan nilai yang diperoleh. Selanjutnya tentukan nilai berapa yang akan diperoleh siswa yang belajar 8 jam tersebut.

Untuk mencari persamaan regresi data sampel, kita perlu menentukan koefisien b ₀ dan b ₁ dari persamaan tersebut dan, untuk melakukannya, kita perlu menggunakan rumus yang terlihat pada bagian di atas.

Namun untuk menerapkan rumus persamaan regresi linier, terlebih dahulu kita harus menghitung mean variabel independen dan mean variabel dependen:

$\begin{array}{c}\overline{x}=\cfrac{11+5+10+12+7}{5}=9\\[4ex]\overline{y}=\cfrac{7+4+5+8+6}{5}=6\end{array}$

Sekarang setelah kita mengetahui rata-rata variabelnya, kita menghitung koefisien β ₁ model menggunakan rumus yang sesuai:

$\begin{array}{c}\beta_1=\cfrac{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\displaystyle \sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}\\[10ex] \beta_1=\cfrac{\begin{array}{c}(11-9)(7-6)+(5-9)(4-6)+(10-9)(5-6)+\\+(12-9)(8-6)+(7-9)(6-6)\end{array}}{(11-9)^2+(5-9)^2+(10-9)^2+(12-9)^2+(7-9)^2}\\[6ex]\beta_1=0,4412\end{array}$

Terakhir, kami menghitung koefisien β ₀ model menggunakan rumus yang sesuai:

$\begin{array}{l}\beta_0=\overline{y}-\beta_1\overline{x}\\[3ex]\beta_0=6-0,4412\cdot 9 \\[3ex]\beta_0=2,0294\end{array}$

Secara singkat persamaan garis regresi linier permasalahannya adalah sebagai berikut:

$y=2,0294+0,4412x$

Di bawah ini Anda dapat melihat representasi grafis dari data sampel beserta persamaan model regresi linier sederhana:

Setelah kita menghitung persamaan regresinya, untuk memprediksi nilai yang akan diperoleh seorang siswa yang belajar 8 jam, cukup substitusikan nilai ini ke dalam persamaan regresi yang dihasilkan:

$y=2,0294+0,4412\cdot 8=5,56$

Jadi menurut model regresi linier yang dilakukan, jika seorang siswa belajar selama delapan jam maka ia akan memperoleh nilai ujian sebesar 5,56.

Kalkulator persamaan regresi

Masukkan contoh data ke dalam kalkulator di bawah ini untuk menghitung persamaan regresi Anda. Anda perlu memisahkan pasangan datanya, sehingga pada kotak pertama hanya terdapat nilai variabel bebas X dan pada kotak kedua hanya terdapat nilai variabel terikat Y.

Data harus dipisahkan dengan spasi dan dimasukkan menggunakan titik sebagai pemisah desimal.

Persamaan regresi linier berganda

Kita baru saja melihat apa itu persamaan regresi linier sederhana, namun model regresi juga dapat berupa model regresi linier berganda yang mencakup dua atau lebih variabel bebas. Dengan demikian, regresi linier berganda memungkinkan untuk menghubungkan secara linier beberapa variabel penjelas ke suatu variabel respon.

Persamaan model regresi linier berganda adalah:

$y=\beta_0+\beta_1 x_1+\beta_2 x_2+\dots+\beta_m x_m+\varepsilon$

Emas:

$y$

adalah variabel terikat.
$x_i$

adalah variabel bebas i.
$\beta_0$

adalah konstanta persamaan regresi linier berganda.
$\beta_i$

adalah koefisien regresi yang terkait dengan variabel

$x_i$

.
$\bm{\varepsilon}$

adalah kesalahan atau sisa, yaitu selisih antara nilai yang diamati dan nilai yang diestimasi oleh model.
$m$

adalah jumlah total variabel dalam model.

Jadi jika kita mempunyai sampel dengan jumlah total

$n$

pengamatan, kita dapat mengajukan model regresi linier berganda dalam bentuk matriks:

$\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&x_{11}&\dots&x_{1m}\\1&x_{21}&\dots&x_{2m}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\1&x_{n1}&\dots&x_{nm}\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\beta_0\\\beta_1\\\vdots\\\beta_m\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}\varepsilon_1\\\varepsilon_2\\\vdots\\\varepsilon_n\end{pmatrix}$

Ekspresi matriks di atas dapat ditulis ulang dengan memberikan huruf pada setiap matriks:

$Y=X\beta+\varepsilon$

Jadi, dengan menerapkan kriteria kuadrat terkecil, kita dapat memperoleh rumus untuk memperkirakan koefisien persamaan regresi linier berganda :

$\widehat{\beta}=\left(X^tX\right)^{-1}X^tY$

Namun penerapan rumus ini sangat melelahkan dan memakan waktu, oleh karena itu dalam praktiknya disarankan untuk menggunakan perangkat lunak komputer (seperti Minitab atau Excel) yang memungkinkan pembuatan model regresi berganda dengan lebih cepat.

➤ Lihat: Apa itu regresi linier berganda?

Tentang Penulis

Benjamin anderson

Halo, saya Benjamin, pensiunan profesor statistika yang menjadi guru Statorial yang berdedikasi. Dengan pengalaman dan keahlian yang luas di bidang statistika, saya ingin berbagi ilmu untuk memberdayakan mahasiswa melalui Statorials. Baca selengkapnya