Apa itu properti tanpa memori? (definisi & #038; contoh)

Dalam statistika, suatu distribusi probabilitas dikatakan mempunyai sifat tanpa memori jika probabilitas terjadinya peristiwa di masa depan tidak dipengaruhi oleh terjadinya peristiwa di masa lalu.

Hanya ada dua distribusi probabilitas dengan properti tanpa memori:

• Distribusi eksponensial dengan bilangan real non-negatif.
• Distribusi geometri dengan bilangan bulat non-negatif.

Kedua distribusi probabilitas ini digunakan untuk memodelkan waktu yang diharapkan sebelum suatu peristiwa terjadi.

Ternyata pada waktu tertentu, mengetahui berapa lama waktu telah berlalu tidak benar-benar memberi tahu kita apakah suatu peristiwa akan terjadi cepat atau lambat.

Contoh berikut membantu kita memiliki intuisi yang lebih baik tentang properti tanpa memori.

Intuisi properti tanpa ingatan

Perhatikan contoh berikut:

Bukan tanpa ingatan

Diketahui bahwa laptop merek tertentu rata-rata bertahan sekitar 6 tahun sebelum mati. Jadi jika kita mengetahui bahwa suatu laptop tertentu berumur 5 tahun, perkiraan waktu matinya cukup singkat. Namun jika laptop lain baru berumur 1 tahun, perkiraan waktu matinya cukup lama.

Dalam contoh ini, mengetahui berapa lama waktu yang telah berlalu selama umur setiap laptop memberi tahu kita berapa lama laptop akan terus beroperasi hingga mati. Jadi distribusi probabilitas ini tidak akan mempunyai properti tanpa memori.

Tanpa memori

Sepertinya Jessica memiliki toko serba ada. Dia ingin tahu berapa lama dia harus menunggu sampai pelanggan berikutnya masuk ke toko.

Dalam contoh ini, mengetahui kapan pelanggan terakhir memasuki toko tidak terlalu berguna untuk memprediksi kapan pelanggan berikutnya akan masuk, karena setiap pelanggan bersifat independen dan menunjukkan perilaku individual.

Jadi distribusi probabilitas ini akan memiliki properti tanpa memori. Dengan kata lain, probabilitas terjadinya peristiwa di masa depan tidak dipengaruhi oleh terjadinya peristiwa di masa lalu.

Properti tanpa memori: definisi formal

Dalam istilah statistik formal, variabel acak X dikatakan mengikuti distribusi probabilitas dengan properti tanpa memori jika untuk a dan b   pada {0, 1, 2, …} benar bahwa:

Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )

Misalnya, kita memiliki distribusi probabilitas dengan properti tanpa memori dan X adalah jumlah percobaan hingga keberhasilan pertama. Jika a = 30 dan b = 10 maka kita katakan:

• Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )
• Pr(X > 30 + 10 | X ≥ 30 ) = Pr(X > 10)
• Pr(X > 40 | X ≥ 30 ) = Pr(X > 10)

Dengan kata lain, jika kita telah melakukan 30 percobaan yang gagal, maka peluang kita harus menunggu hingga percobaan #40 atau lebih baru untuk mencapai kesuksesan adalah sama dengan probabilitas memulai dari awal dan menunggu hingga percobaan #10. atau lebih untuk menjadi sukses.

Karena distribusi probabilitas ini mempunyai sifat tanpa memori, artinya mengetahui jumlah kegagalan yang kita alami hingga titik tertentu masih belum memberi tahu kita tentang kemungkinan kegagalan di masa depan.

Properti tanpa memori: sebuah contoh

Misalkan rata-rata 30 pelanggan per jam memasuki sebuah toko dan waktu antar kedatangan terdistribusi secara eksponensial. Rata-rata 2 menit berlalu antara kunjungan berturut-turut.

Diasumsikan 10 menit telah berlalu sejak pelanggan terakhir tiba. Mengingat jangka waktu ini luar biasa lama, kemungkinan besar pelanggan akan tiba dalam waktu satu menit.

Namun, karena distribusi eksponensial mempunyai sifat tanpa memori, hal ini tidak berlaku. Waktu yang dihabiskan untuk menunggu kedatangan pelanggan berikutnya tidak bergantung pada waktu sejak pelanggan terakhir datang.

Kita dapat membuktikannya dengan menggunakan CDF dari distribusi eksponensial:

CDF: 1 – e ^-λx

dimana λ dihitung sebagai 1/waktu antar kedatangan rata-rata. Dalam contoh kita, λ = 1/2 = 0,5.

Jika kita menetapkan a = 10 dan b = 1, maka kita mempunyai:

• Pr(X > a + b | X ≥ a ) = Pr(X > b )
• Pr( ^X > 10 + 1 |

Terlepas dari berapa lama waktu yang telah berlalu sejak pelanggan terakhir tiba, probabilitas bahwa pelanggan tersebut akan datang lebih dari satu menit sebelum kedatangan berikutnya adalah 0,6065 .