Teorema probabilitas total

Artikel ini menjelaskan apa itu teorema probabilitas total dan kegunaannya dalam probabilitas dan statistik. Jadi, Anda akan menemukan rumus untuk teorema probabilitas total, latihan yang diselesaikan, dan kapan teorema probabilitas total digunakan.

Berapakah teorema probabilitas total?

Dalam teori probabilitas, teorema probabilitas total adalah hukum yang memungkinkan untuk menghitung probabilitas suatu kejadian yang bukan merupakan bagian dari ruang sampel dari probabilitas bersyarat semua kejadian dalam ruang sampel tersebut.

Jadi, teorema probabilitas total digunakan untuk menghitung probabilitas suatu peristiwa tertentu berdasarkan informasi parsial tentang peristiwa tersebut. Terkadang kita tidak dapat menentukan probabilitas suatu kejadian dengan menerapkan aturan Laplace secara langsung karena kita tidak memiliki semua informasi yang diperlukan. Namun jika kita mengetahui data mengenai kejadian ini relatif terhadap kejadian lain, teorema probabilitas total biasanya berguna.

Singkatnya, teorema probabilitas total digunakan ketika kita ingin menghitung probabilitas suatu peristiwa tetapi hanya memiliki informasi tentangnya dalam kondisi tertentu. Misalnya, beberapa penerapan teorema ini melibatkan eksperimen dengan banyak kasus, teori antrian, dan analisis kelangsungan hidup.

Rumus teorema probabilitas total

Teorema peluang total menyatakan bahwa jika terdapat himpunan kejadian {A ₁ , A ₂ ,…, A _n } yang membentuk partisi pada ruang sampel, maka peluang kejadian B sama dengan jumlah perkalian peluang masing-masing kejadian. kejadian P(A _i ) dengan probabilitas bersyarat P(B|A _i ).

Oleh karena itu, rumus teorema probabilitas total adalah:

Emas:

• 

  adalah peluang terjadinya kejadian B.

• 

  adalah probabilitas bersyarat dari kejadian B pada kejadian tertentu A _i .

• 

  adalah peluang terjadinya kejadian A _i .

Perlu diingat bahwa secara probabilitas, partisi ruang sampel didefinisikan sebagai sekumpulan kejadian yang saling tidak kompatibel yang gabungannya membentuk ruang sampel.

Contoh konkrit teorema probabilitas total

Setelah melihat definisi teorema probabilitas total dan apa rumusnya, kita akan melihat latihan penyelesaian tentang bagaimana suatu probabilitas dihitung dengan teorema probabilitas total untuk lebih memahami maknanya.

• Sebuah toko elektronik menjual tiga merek televisi: X, Y, Z. Diperkirakan 20% penjualannya adalah televisi merek, % televisi merek cacat, dan 4% televisi merek Z. televisi rusak. Seberapa besar kemungkinan membeli TV yang rusak?

Rumusan masalah memberikan probabilitas bahwa pelanggan akan membeli setiap merek TV:

• Peristiwa A ₁ : Seorang pelanggan membeli _sebuah merek televisi
• Kejadian A ₂ : Seorang pelanggan membeli televisi merek Y → P(A ₂ )=0,50
• Peristiwa A ₃ : Seorang pelanggan membeli televisi merek Z → P(A ₃ )=0,30

Selain itu, pernyataan latihan juga memberi kita kemungkinan bahwa televisi dari setiap merek rusak:

Peristiwa B: TV rusak

• B|A ₁ : Diberikan televisi merek X, televisi tersebut rusak → P(B|A ₁ )=0,05
• B|A ₂ : Diketahui merek televisi Y, televisi tersebut rusak → P(B|A ₂ )=0,03
• B|A ₃ : Diberi televisi merek Z, televisi tersebut rusak → P(B|A ₃ )=0,04

Jadi, pohon probabilitas permasalahannya adalah sebagai berikut:

Jadi, untuk menghitung probabilitas membeli TV yang rusak, kita perlu menggunakan rumus aturan probabilitas total:

Dalam kasus kita, ruang sampel terdiri dari tiga kejadian (A ₁ , A ₂ dan A ₃ ), sehingga rumus teorema probabilitas total adalah sebagai berikut:

Oleh karena itu, cukup dengan mengganti probabilitas dari ekspresi sebelumnya untuk mencari probabilitas membeli televisi yang rusak:

Kesimpulannya, ada kemungkinan 3,7% kita membeli TV dan TV tersebut rusak.

Teorema probabilitas total dan teorema Bayes

Teorema probabilitas total dan teorema Bayes adalah dua teorema penting dalam teori probabilitas, terutama karena keduanya memungkinkan kita menghitung probabilitas dari nilai probabilitas bersyarat.

Teorema Bayes adalah teori hukum probabilitas yang digunakan untuk menghitung probabilitas suatu peristiwa ketika informasi apriori tentang peristiwa tersebut diketahui.

Secara spesifik teorema probabilitas total dan teorema Bayes saling berkaitan, pada kenyataannya penyebut rumus teorema Bayes ekuivalen dengan rumus teorema probabilitas total.

Klik link berikut untuk melihat apa itu teorema Bayes dan contoh penerapannya: