{"id":429,"date":"2023-07-29T23:33:30","date_gmt":"2023-07-29T23:33:30","guid":{"rendered":"https:\/\/statorials.org\/id\/teorema-limit-pusat\/"},"modified":"2023-07-29T23:33:30","modified_gmt":"2023-07-29T23:33:30","slug":"teorema-limit-pusat","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/statorials.org\/id\/teorema-limit-pusat\/","title":{"rendered":"Teorema limit pusat: definisi + contoh"},"content":{"rendered":"

<\/p>\n

\n

Teorema limit pusat<\/strong> menyatakan bahwa distribusi sampling dari mean sampel<\/a> mendekati normal jika ukuran sampel cukup besar, meskipun distribusi populasi tidak normal<\/em> .<\/span><\/p>\n

Teorema limit pusat juga menyatakan bahwa distribusi sampling akan mempunyai sifat-sifat sebagai berikut:<\/span><\/p>\n

1.<\/strong> Rata-rata distribusi sampling akan sama dengan rata-rata distribusi populasi:<\/span><\/p>\n

x<\/span> = \u03bc<\/span><\/strong><\/p>\n

2.<\/strong> Varians distribusi sampling akan sama dengan varians distribusi populasi dibagi jumlah sampel:<\/span><\/p>\n

s2<\/sup> = \u03c32<\/sup><\/span> \/n<\/span><\/strong><\/p>\n

Contoh Teorema Limit Pusat<\/span><\/strong><\/h2>\n

Berikut beberapa contoh untuk mengilustrasikan teorema limit pusat dalam praktiknya.<\/span><\/p>\n

Distribusi seragam<\/span><\/strong><\/h3>\n

Misalkan lebar cangkang penyu mengikuti distribusi seragam dengan lebar minimal 2 inci dan lebar maksimal 6 inci. Artinya, jika kita memilih kura-kura secara acak dan mengukur lebar cangkangnya, kemungkinan lebar cangkangnya<\/em> juga antara 2 dan 6 inci .<\/span><\/p>\n

Jika kita membuat histogram untuk merepresentasikan sebaran lebar cangkang penyu, maka akan terlihat seperti ini:<\/span> <\/p>\n

\"Contoh
Rata-rata distribusi seragam adalah \u03bc<\/strong> = (b+a) \/ 2 dengan b<\/em> adalah nilai terbesar yang mungkin dan a<\/em> adalah nilai terkecil yang mungkin. Dalam hal ini adalah (6+2) \/ 2 = 4.<\/span><\/p>\n

Varians dari distribusi seragam adalah \u03c32<\/sup><\/strong> = (ba) 2\/12<\/sup> . Dalam hal ini adalah (6-2) 2\/12<\/sup> = 1,33<\/strong><\/span><\/p>\n

Mengambil sampel secara acak sebanyak 2 buah dari distribusi seragam<\/strong><\/span><\/h4>\n

Sekarang bayangkan kita mengambil sampel acak 2 ekor penyu dari populasi ini dan mengukur lebar cangkang masing-masing penyu. Anggaplah cangkang kura-kura pertama lebarnya 3 inci dan lebar cangkang kura-kura kedua 6 inci. Lebar rata-rata sampel 2 ekor penyu ini adalah 4,5 inci.<\/span><\/p>\n

Selanjutnya, bayangkan kita mengambil sampel acak lain yang terdiri dari 2 ekor penyu dari populasi ini dan mengukur kembali lebar cangkang masing-masing penyu. Misalkan cangkang kura-kura pertama lebarnya 2,5 inci dan cangkang kura-kura kedua juga lebarnya 2,5 inci. Lebar rata-rata sampel 2 ekor penyu ini adalah 2,5 inci.<\/span><\/p>\n

Bayangkan kita terus-menerus mengambil sampel acak dari 2 ekor penyu dan terus mencari rata-rata lebar cangkang setiap kali.<\/span><\/p>\n

Jika kita membuat histogram untuk mewakili rata-rata lebar cangkang seluruh sampel dari 2 ekor penyu, maka akan terlihat seperti ini:<\/span> <\/p>\n

\"Teorema
Hal ini disebut distribusi sampling untuk mean sampel<\/strong> karena menunjukkan distribusi mean sampel.<\/span><\/p>\n

Rata-rata distribusi sampling ini adalah<\/span> x<\/span> = \u03bc = 4<\/span><\/strong><\/p>\n

Varians dari distribusi sampling ini adalah s2<\/sup> = \u03c32<\/sup> \/ n = 1,33 \/ 2 = 0,665<\/strong><\/span><\/p>\n

Pengambilan sampel secara acak sebanyak 5 buah dari distribusi seragam<\/strong><\/span><\/h4>\n

Sekarang bayangkan kita mengulangi percobaan yang sama, tapi kali ini kita mengambil sampel acak dari 5 ekor penyu berulang kali dan mencari rata-rata lebar cangkang setiap kali.<\/span><\/p>\n

Jika kita membuat histogram untuk mewakili rata-rata lebar cangkang dari semua sampel 5 ekor penyu tersebut, maka akan terlihat seperti ini:<\/span> <\/p>\n

\"Teorema
Perhatikan bahwa distribusi ini lebih berbentuk \u201clonceng\u201d yang menyerupai distribusi normal . Hal ini karena ketika kita mengambil sampel sebesar 5, variansi antara rata-rata sampel kita jauh lebih rendah, sehingga kecil kemungkinannya kita mendapatkan sampel dengan rata-rata mendekati 2 inci atau 6 inci dan lebih besar kemungkinannya untuk mendapatkan sampel dengan rata-rata mendekati 2 inci atau 6 inci. 6 inci. rata-ratanya lebih dekat dengan rata-rata populasi sebenarnya sebesar 4 inci.<\/span><\/p>\n

Rata-rata distribusi sampling ini adalah<\/span> x<\/span> = \u03bc = 4<\/span><\/strong><\/p>\n

Varians dari distribusi sampling ini adalah s2<\/sup> = \u03c32<\/sup> \/ n = 1,33 \/ 5 = 0,266<\/strong><\/span><\/p>\n

Mengambil sampel secara acak sebanyak 30 dari distribusi seragam<\/strong><\/span><\/h4>\n

Sekarang bayangkan kita mengulangi percobaan yang sama, namun kali ini kita mengambil sampel acak dari 30 penyu berulang kali dan mencari rata-rata lebar cangkang setiap kali.<\/span><\/p>\n

Jika kita membuat histogram untuk mewakili rata-rata lebar cangkang dari seluruh sampel 30 penyu tersebut, maka akan terlihat seperti ini:<\/span> <\/p>\n

\"Teorema
Perhatikan bahwa distribusi pengambilan sampel ini bahkan lebih berbentuk lonceng dan lebih sempit dibandingkan dua distribusi sebelumnya.<\/span><\/p>\n

Rata-rata distribusi sampling ini adalah<\/span> x<\/span> = \u03bc = 4<\/span><\/strong><\/p>\n

Varians dari distribusi sampling ini adalah s2<\/sup> = \u03c32<\/sup> \/ n = 1,33 \/ 30 = 0,044<\/strong><\/span><\/p>\n

Distribusi chi-kuadrat<\/span><\/strong><\/h3>\n

Misalkan jumlah hewan peliharaan per keluarga di suatu kota mengikuti distribusi chi-kuadrat dengan tiga derajat kebebasan. Jika kita membuat histogram untuk merepresentasikan sebaran hewan berdasarkan famili, maka akan terlihat seperti ini:<\/span> <\/p>\n

\"Teorema<\/p>\n

Rata-rata distribusi chi-kuadrat hanyalah jumlah derajat kebebasan (df). Dalam hal ini, \u03bc<\/strong> = 3<\/strong> .<\/span><\/p>\n

Varians dari distribusi Chi-kuadrat adalah 2 * df. Dalam hal ini, \u03c32<\/sup><\/strong> = 2 * 3 = 6<\/strong> .<\/span><\/p>\n

Mengambil sampel secara acak sebanyak 2<\/strong><\/span><\/h4>\n

Bayangkan kita mengambil sampel acak 2 keluarga dari populasi ini dan menghitung jumlah hewan peliharaan di setiap keluarga. Misalkan keluarga pertama mempunyai 4 hewan peliharaan dan keluarga kedua memiliki 1 hewan peliharaan. Rata-rata jumlah hewan peliharaan untuk sampel 2 keluarga ini adalah 2,5.<\/span><\/p>\n

Lalu bayangkan kita mengambil sampel acak lain yang terdiri dari 2 keluarga dari populasi ini dan menghitung lagi jumlah hewan peliharaan di setiap keluarga. Misalkan keluarga pertama mempunyai 6 hewan peliharaan dan keluarga kedua memiliki 4 hewan peliharaan. Rata-rata jumlah hewan peliharaan untuk sampel 2 keluarga ini adalah 5.<\/span><\/p>\n

Bayangkan kita terus mengambil sampel acak dari 2 keluarga berulang kali dan terus menemukan jumlah rata-rata hewan peliharaan setiap saat.<\/span><\/p>\n

Jika kita membuat histogram untuk mewakili jumlah rata-rata hewan peliharaan dari semua sampel dari 2 keluarga, maka akan terlihat seperti ini:<\/span> <\/p>\n

\"Teorema<\/p>\n

Rata-rata distribusi sampling ini adalah<\/span> x<\/span> = \u03bc = 3<\/span><\/strong><\/p>\n

Varians dari distribusi sampling ini adalah s 2<\/sup> = \u03c3 2<\/sup> \/ n = 6 \/ 2 = 3<\/strong><\/span><\/p>\n

Pengambilan sampel secara acak sebanyak 10 orang<\/strong><\/span><\/h4>\n

Sekarang bayangkan kita mengulangi percobaan yang sama, namun kali ini kita mengambil sampel acak dari 10 famili berulang kali dan setiap kali mencari jumlah rata-rata hewan per famili.<\/span><\/p>\n

Jika kita membuat histogram untuk mewakili jumlah rata-rata hewan per famili di seluruh sampel 10 famili tersebut, maka akan terlihat seperti ini:<\/span> <\/p>\n

\"Teorema<\/p>\n

Rata-rata distribusi sampling ini adalah<\/span> x<\/span> = \u03bc = 3<\/span><\/strong><\/p>\n

Varians dari distribusi sampling ini adalah s2<\/sup> = \u03c32<\/sup> \/ n = 6\/10 = 0,6<\/strong><\/span><\/p>\n

Mengambil sampel secara acak sebanyak 30<\/strong><\/span><\/h4>\n

Sekarang bayangkan kita mengulangi percobaan yang sama, namun kali ini kita mengambil sampel acak dari 30 keluarga berulang kali dan setiap kali mencari jumlah rata-rata hewan per keluarga.<\/span><\/p>\n

Jika kita membuat histogram untuk mewakili jumlah rata-rata hewan per famili di seluruh sampel dari 30 famili tersebut, maka akan terlihat seperti ini:<\/span> <\/p>\n

\"Histogram<\/p>\n

Rata-rata distribusi sampling ini adalah<\/span> x<\/span> = \u03bc = 3<\/span><\/strong><\/p>\n

Varians dari distribusi sampling ini adalah s2<\/sup> = \u03c32<\/sup> \/ n = 6\/30 = 0,2<\/strong><\/span><\/p>\n

Ringkasan<\/span><\/strong><\/h2>\n

Berikut adalah kesimpulan utama dari dua contoh ini:<\/span><\/p>\n