Distribuzione di bernoulli

Di Benjamin anderson Agosto 4, 2023 Probabilità 0 commenti

Questo articolo spiega cos’è la distribuzione di Bernoulli e qual è la sua formula. Inoltre troverai le proprietà della distribuzione di Bernoulli e un esercizio risolto per comprenderne meglio il significato.

Qual è la distribuzione di Bernoulli?

La distribuzione di Bernoulli , detta anche distribuzione dicotomica , è una distribuzione di probabilità che rappresenta una variabile discreta che può avere solo due esiti: “successo” o “fallimento”.

Nella distribuzione di Bernoulli, il “successo” è l’esito che ci aspettiamo e ha valore 1, mentre l’esito del “fallimento” è un esito diverso da quello atteso e ha valore 0. Quindi, se la probabilità dell’esito di “ successo” è p , la probabilità dell’esito di “fallimento” è q=1-p .

$\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}$

La distribuzione di Bernoulli prende il nome dallo statistico svizzero Jacob Bernoulli.

In statistica, la distribuzione di Bernoulli ha principalmente un’applicazione: definire le probabilità di esperimenti in cui ci sono solo due possibili risultati: successo e fallimento. Quindi, un esperimento che utilizza la distribuzione di Bernoulli è chiamato test di Bernoulli o esperimento di Bernoulli.

Formula di distribuzione di Bernoulli

Se p è la probabilità che si verifichi l’esito di “successo”, la probabilità della distribuzione di Bernoulli è pari a p elevato a x moltiplicato per 1-p elevato a 1-x . Pertanto le probabilità della distribuzione di Bernoulli possono essere calcolate utilizzando la seguente formula :

Si noti che in una distribuzione di Bernoulli, il valore di x può essere solo 0 (fallimento) o 1 (successo).

D’altra parte, la formula precedente può essere scritta anche utilizzando la seguente espressione equivalente:

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.$

Esempio di distribuzione di Bernoulli

Ora che conosciamo la definizione di distribuzione di Bernoulli e qual è la sua formula, vediamo un esempio concreto di distribuzione di Bernoulli.

Per vincere una partita, un giocatore deve lanciare un dado e ottenere un 2, altrimenti un altro giocatore vincerà la partita e quindi la partita sarà persa. Calcolare la probabilità di successo e di fallimento.

Un dado ha sei possibili risultati (1, 2, 3, 4, 5, 6), quindi in questo caso lo spazio campionario dell’esperimento è:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

Nel nostro caso, l’unico caso di successo è ottenere il numero due, quindi la probabilità di successo quando si applica la regola di Laplace è pari a uno diviso per il numero totale di risultati possibili (6):

$p=\cfrac{1}{6}=0,1667$

D’altra parte, se lanciando il dado appare un altro numero, il risultato dell’esperimento sarà considerato un fallimento, poiché il giocatore perderà la partita. Pertanto, questa probabilità è equivalente a uno meno la probabilità calcolata in precedenza:

$q=1-p=1-\cfrac{1}{6}=\cfrac{5}{6}=0,8333$

In breve, la distribuzione di Bernoulli di questo esperimento è definita dalla seguente espressione:

$\displaystyle P[X=x]=\left\{\begin{array}{ll}\cfrac{5}{6} & \text{si } x=0\\[4ex]\cfrac{1}{6} & \text{si } x=1\end{array}\right.$

Come puoi vedere di seguito, le probabilità della distribuzione di Bernoulli si possono trovare anche applicando la formula vista sopra:

$P[X=x]=p^x\cdot (1-p)^{1-x}$

$\displaystyle P[X=0]=\left(\frac{1}{6}\right)^0\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-0}=\cfrac{5}{6}$

$\displaystyle P[X=1]=\left(\frac{1}{6}\right)^1\cdot \left(1-\frac{1}{6}\right)^{1-1}=\cfrac{1}{6}$

Caratteristiche della distribuzione di Bernoulli

Di seguito sono riportate le caratteristiche più importanti della distribuzione di Bernoulli.

La distribuzione di Bernoulli può assumere solo il valore 1 (successo) o 0 (fallimento).

$x=\{0\ ; 1\}$

La media della distribuzione di Bernoulli è equivalente alla probabilità che si verifichi l’esito “successo”.

$E[X]=p$

La varianza di una distribuzione di Bernoulli può essere calcolata moltiplicando le probabilità che si verifichino i risultati “successo” e “fallimento”. Oppure, equivalentemente, la varianza è p volte 1-p .

$Var(X)=p\cdot q=p\cdot (1-p)$

Il valore della moda di una distribuzione di Bernoulli dipende dalle probabilità di “successo” e di “fallimento”. Pertanto, la modalità di questo tipo di distribuzione è definita dalla seguente espressione:

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\displaystyle Mo=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } q>p\\[2ex]0 \ ;1 & \text{si } q=p\\[2ex] 1 & \text{si } q<ul><li> The formula for the probability function of a Bernoulli distribution is as follows:</li></ul>[latex] \displaystyle P[X=x]= \left\{\begin{array}{ll}1-p & \text{si } x=0\\[2ex]p& \text{si } x=1\end{array}\right.

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D’altra parte, la funzione di probabilità cumulativa della distribuzione di Bernoulli è definita dalla seguente espressione:

$\displaystyle P[X\leq x]=\left\{\begin{array}{ll}0 & \text{si } x<0\\[2ex]1-p& \text{si }0 \leq x<1\\[2ex]1 & \text{si } x\geq 1\end{array}\right.$

Il coefficiente di asimmetria di una distribuzione di Bernoulli si calcola con la seguente espressione:

$A=\cfrac{q-p}{\sqrt{p\cdot q}}$

Allo stesso modo, la curtosi di una distribuzione di Bernoulli dipende dal valore del parametro p e può essere trovata applicando la seguente formula:

$C=\cfrac{3p^2-3p+1}{p(1-p)}$

Distribuzione di Bernoulli e distribuzione binomiale

In questa sezione vedremo la differenza tra la distribuzione di Bernoulli e la distribuzione binomiale, poiché sono due tipi di distribuzioni di probabilità correlate.

La distribuzione binomiale conta il numero di risultati “riusciti” ottenuti da una serie di prove Bernoulliane. Questi esperimenti di Bernoulli devono essere indipendenti ma devono avere la stessa probabilità di successo.

Pertanto, la distribuzione binomiale è la somma di un insieme di variabili che seguono una distribuzione di Bernoulli , tutte definite dallo stesso parametro p .

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\displaystyle \sum_{i=1}^nX_i\sim \text{Bin}(n,p)\end{array}$

Quindi nella distribuzione di Bernoulli esiste un solo esperimento di Bernoulli, mentre nella distribuzione binomiale esiste una sequenza di esperimenti di Bernoulli.

Informazioni sull'autore

Benjamin anderson

Ciao, sono Benjamin, un professore di statistica in pensione diventato insegnante dedicato di Statorials. Con una vasta esperienza e competenza nel campo della statistica, sono ansioso di condividere le mie conoscenze per potenziare gli studenti attraverso Statorials. Scopri di più