Distribuzione discreta di probabilità
Questo articolo spiega quali sono le distribuzioni di probabilità discrete nelle statistiche. Quindi troverai il significato della distribuzione di probabilità discreta, esempi di distribuzioni di probabilità discrete e quali sono i diversi tipi di distribuzioni di probabilità discrete.
Cos’è una distribuzione di probabilità discreta?
Una distribuzione di probabilità discreta è la distribuzione che definisce le probabilità di una variabile casuale discreta . Pertanto, una distribuzione di probabilità discreta può assumere solo un numero finito di valori (solitamente numeri interi).
Ad esempio, la distribuzione binomiale, la distribuzione di Poisson e la distribuzione ipergeometrica sono distribuzioni di probabilità discrete.
In una distribuzione di probabilità discreta, ciascun valore della variabile discreta che rappresenta (xi ) è associato a un valore di probabilità (p i ) che varia da 0 a 1. Pertanto, la somma di tutte le probabilità in una distribuzione discreta dà il risultato uno .
![\begin{array}{c}P[X=x_i]=p_i \quad i=1,2,\ldots, n\\[2ex]0\leq p_i\leq 1\\[2ex]\displaystyle\sum_{i=0}^{n}p_i=1\end{array}](https://statorials.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-115362012319df0fa040b1606f0cf461_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Esempi di distribuzioni di probabilità discrete
Ora che conosciamo la definizione di distribuzione di probabilità discreta, vedremo diversi esempi di questo tipo di distribuzione per comprendere meglio il concetto.
Esempi di distribuzioni di probabilità discrete:
- Il numero di volte in cui il numero 5 si ottiene lanciando un dado 30 volte.
- Il numero di utenti che accedono a una pagina web in un giorno.
- Il numero di studenti che hanno superato un esame su un totale di 50 studenti.
- Il numero di unità difettose in un campione di 100 prodotti.
- Il numero di volte in cui una persona deve sostenere l’esame di guida per superarlo.
Tipi di distribuzioni discrete di probabilità
I principali tipi di distribuzioni di probabilità discrete sono:
- Distribuzione discreta ed uniforme
- Distribuzione di Bernoulli
- Distribuzione binomiale
- Distribuzione del pesce
- Distribuzione multinomiale
- Distribuzione geometrica
- Distribuzione binomiale negativa
- Distribuzione ipergeometrica
Ogni tipo di distribuzione di probabilità discreta è spiegato in dettaglio di seguito.
Distribuzione discreta ed uniforme
La distribuzione uniforme discreta è una distribuzione di probabilità discreta in cui tutti i valori sono equiprobabili, cioè in una distribuzione uniforme discreta tutti i valori hanno la stessa probabilità di verificarsi.
Ad esempio, il lancio di un dado può essere definito con una distribuzione discreta e uniforme, poiché tutti i possibili risultati (1, 2, 3, 4, 5 o 6) hanno la stessa probabilità di verificarsi.
In generale, una distribuzione discreta uniforme ha due parametri caratteristici, a e b , che definiscono l’intervallo di possibili valori che la distribuzione può assumere. Pertanto, quando una variabile è definita da una distribuzione uniforme discreta, si scrive Uniform(a,b) .
La distribuzione discreta uniforme può essere utilizzata per descrivere esperimenti casuali perché se tutti i risultati hanno la stessa probabilità, significa che l’esperimento è casuale.
Distribuzione di Bernoulli
La distribuzione di Bernoulli , detta anche distribuzione dicotomica , è una distribuzione di probabilità che rappresenta una variabile discreta che può avere solo due esiti: “successo” o “fallimento”.
Nella distribuzione di Bernoulli, il “successo” è l’esito che ci aspettiamo e ha valore 1, mentre l’esito del “fallimento” è un esito diverso da quello atteso e ha valore 0. Quindi, se la probabilità dell’esito di “ successo” è p , la probabilità dell’esito di “fallimento” è q=1-p .
![\begin{array}{c}X\sim \text{Bernoulli}(p)\\[2ex]\begin{array}{l} \text{\'Exito}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=1]=p\\[2ex]\text{Fracaso}\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P[X=0]=q=1-p\end{array}\end{array}](https://statorials.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-384fd7d96d4d6584739b04a6e331b251_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
La distribuzione di Bernoulli prende il nome dallo statistico svizzero Jacob Bernoulli.
In statistica, la distribuzione di Bernoulli ha principalmente un’applicazione: definire le probabilità di esperimenti in cui ci sono solo due possibili risultati: successo e fallimento. Quindi, un esperimento che utilizza la distribuzione di Bernoulli è chiamato test di Bernoulli o esperimento di Bernoulli.
Distribuzione binomiale
La distribuzione binomiale , chiamata anche distribuzione binomiale , è una distribuzione di probabilità che conta il numero di successi quando si eseguono una serie di esperimenti dicotomici indipendenti con una probabilità di successo costante. In altre parole, la distribuzione binomiale è una distribuzione che descrive il numero di esiti positivi di una sequenza di prove Bernoulliane.
Ad esempio, il numero di volte in cui una moneta esce testa 25 volte è una distribuzione binomiale.
In generale il numero totale di esperimenti eseguiti è definito con il parametro n , mentre p è la probabilità di successo di ciascun esperimento. Pertanto, una variabile casuale che segue una distribuzione binomiale si scrive come segue:
Si noti che in una distribuzione binomiale, lo stesso identico esperimento viene ripetuto n volte e gli esperimenti sono indipendenti l’uno dall’altro, quindi la probabilità di successo di ciascun esperimento è la stessa (p) .
Distribuzione del pesce
La distribuzione di Poisson è una distribuzione di probabilità che definisce la probabilità che un dato numero di eventi si verifichi in un periodo di tempo. In altre parole, la distribuzione di Poisson viene utilizzata per modellare variabili casuali che descrivono il numero di volte in cui un fenomeno si ripete in un intervallo di tempo.
Ad esempio, il numero di chiamate ricevute da una centrale telefonica al minuto è una variabile casuale discreta che può essere definita utilizzando la distribuzione di Poisson.
La distribuzione di Poisson ha un parametro caratteristico, rappresentato dalla lettera greca λ e indica il numero di volte in cui si prevede che l’evento studiato si verifichi durante un dato intervallo.
Distribuzione multinomiale
La distribuzione multinomiale (o distribuzione multinomiale ) è una distribuzione di probabilità che descrive la probabilità che più eventi mutuamente esclusivi si verifichino un dato numero di volte dopo diverse prove.
Cioè, se un esperimento casuale può dare come risultato tre o più eventi esclusivi ed è nota la probabilità che ciascun evento si verifichi separatamente, la distribuzione multinomiale viene utilizzata per calcolare la probabilità che quando vengono eseguiti più esperimenti si verifichi un certo numero di eventi. volta ogni volta.
La distribuzione multinomiale è quindi una generalizzazione della distribuzione binomiale.
Distribuzione geometrica
La distribuzione geometrica è una distribuzione di probabilità che definisce il numero di prove Bernoulliane necessarie per ottenere il primo risultato positivo. Cioè, una distribuzione geometrica modella processi in cui gli esperimenti di Bernoulli vengono ripetuti finché uno di essi non ottiene un risultato positivo.
Ad esempio, il numero di auto che passano su una strada finché non vedono un’auto gialla è una distribuzione geometrica.
Ricorda che un test di Bernoulli è un esperimento che ha due possibili esiti: “successo” e “fallimento”. Quindi se la probabilità di “successo” è p , la probabilità di “fallimento” è q=1-p .
La distribuzione geometrica dipende quindi dal parametro p , che è la probabilità di successo di tutti gli esperimenti effettuati. Inoltre, la probabilità p è la stessa per tutti gli esperimenti.
Distribuzione binomiale negativa
La distribuzione binomiale negativa è una distribuzione di probabilità che descrive il numero di prove Bernoulliane necessarie per ottenere un dato numero di risultati positivi.
Pertanto, una distribuzione binomiale negativa ha due parametri caratteristici: r è il numero di risultati desiderati e p è la probabilità di successo per ogni esperimento di Bernoulli eseguito.
Pertanto, una distribuzione binomiale negativa definisce un processo in cui vengono eseguite tutte le prove Bernoulliane necessarie per ottenere risultati positivi. Inoltre, tutti questi studi di Bernoulli sono indipendenti e hanno una probabilità di successo costante.
Ad esempio, una variabile casuale che segue una distribuzione binomiale negativa è il numero di volte in cui è necessario lanciare un dado finché non viene lanciato tre volte il numero 6.
Distribuzione ipergeometrica
La distribuzione ipergeometrica è una distribuzione di probabilità che descrive il numero di casi di successo in un’estrazione casuale senza sostituzione di n elementi da una popolazione.
Cioè, la distribuzione ipergeometrica viene utilizzata per calcolare la probabilità di ottenere x successi estraendo n elementi da una popolazione senza sostituirne nessuno.
Pertanto, la distribuzione ipergeometrica ha tre parametri:
- N : è il numero di elementi della popolazione (N = 0, 1, 2,…).
- K : è il numero massimo di casi di successo (K = 0, 1, 2,…,N). Poiché in una distribuzione ipergeometrica un elemento può essere considerato solo un “successo” o un “fallimento”, NK è il numero massimo di casi di fallimento.
- n : è il numero di recuperi senza sostituzione eseguiti.
Distribuzione di probabilità discreta e continua
Infine, vedremo la differenza tra una distribuzione di probabilità discreta e una distribuzione di probabilità continua, poiché è importante sapere come distinguere questi due tipi di distribuzioni.
La differenza tra una distribuzione discreta e una distribuzione continua è il numero di valori che possono assumere. Una distribuzione continua può assumere qualsiasi valore, invece una distribuzione discreta non accetta alcun valore ma può assumere solo un numero finito di valori.
Un modo per differenziare le distribuzioni continue dalle distribuzioni discrete è determinare quale tipo di numeri possono contenere. Normalmente, una distribuzione continua può assumere qualsiasi valore, compresi i numeri decimali, mentre le distribuzioni discrete possono assumere solo numeri interi. Tieni presente che questo suggerimento non funziona in tutti i casi, ma nella stragrande maggioranza dei casi.
Informazioni sull'autore
Benjamin anderson
Ciao, sono Benjamin, un professore di statistica in pensione diventato insegnante dedicato di Statorials. Con una vasta esperienza e competenza nel campo della statistica, sono ansioso di condividere le mie conoscenze per potenziare gli studenti attraverso Statorials. Scopri di più