Distribuzione di probabilità continua

Di Agosto 3, 2023 Probabilità 0 commenti

Questo articolo spiega cosa sono le distribuzioni di probabilità continue e a cosa servono nelle statistiche. Scoprirai quindi cosa significa che una distribuzione di probabilità è continua, esempi di distribuzioni continue e quali sono i diversi tipi di distribuzioni continue.

Cos’è una distribuzione di probabilità continua?

Una distribuzione di probabilità continua è quella la cui funzione di distribuzione è continua. Pertanto, una distribuzione di probabilità continua definisce le probabilità di una variabile casuale continua .

Ad esempio, la distribuzione normale e la distribuzione t di Student sono distribuzioni di probabilità continue.

Una delle caratteristiche delle distribuzioni di probabilità continue è che possono assumere qualsiasi valore all’interno di un intervallo. Pertanto, a differenza delle distribuzioni di probabilità discrete, le distribuzioni di probabilità continue possono assumere valori decimali.

Nelle distribuzioni continue, per calcolare una probabilità cumulativa, è necessario trovare l’area sotto la curva della distribuzione, quindi in questo tipo di distribuzioni di probabilità la funzione di probabilità cumulativa è equivalente all’integrale della funzione di densità .

\displaystyle P[X\leq x]=\int_{-\infty}^x f(x)dx

Esempi di distribuzioni di probabilità continue

Una volta vista la definizione di distribuzione di probabilità continua, vedremo diversi esempi di questo tipo di distribuzione per comprendere meglio il concetto.

Esempi di distribuzioni di probabilità continue:

  1. Il peso degli studenti in un corso.
  2. La durata di vita di un componente elettrico.
  3. La redditività delle azioni delle società quotate in borsa.
  4. La velocità di un’auto.
  5. Il prezzo di alcune azioni.

Tipi di distribuzioni di probabilità continue

I principali tipi di distribuzioni di probabilità continue sono:

  • Distribuzione uniforme e continua
  • Distribuzione normale
  • Distribuzione lognormale
  • Distribuzione chi-quadrato
  • Distribuzione t di Student
  • Distribuzione Snedecor F
  • Distribuzione esponenziale
  • Distribuzione beta
  • Distribuzione gamma
  • Distribuzione di Weibull
  • Distribuzione di Pareto

Ogni tipo di distribuzione di probabilità continua è spiegato in dettaglio di seguito.

Distribuzione uniforme e continua

La distribuzione uniforme continua , detta anche distribuzione rettangolare , è un tipo di distribuzione di probabilità continua in cui tutti i valori hanno la stessa probabilità di apparire. In altre parole, la distribuzione uniforme continua è una distribuzione in cui la probabilità è distribuita uniformemente su un intervallo.

La distribuzione uniforme continua viene utilizzata per descrivere variabili continue che hanno probabilità costante. Allo stesso modo, la distribuzione uniforme continua viene utilizzata per definire i processi casuali, perché se tutti i risultati hanno la stessa probabilità, significa che c’è casualità nel risultato.

La distribuzione uniforme continua ha due parametri caratteristici, aeb , che definiscono l’intervallo di equiprobabilità. Pertanto, il simbolo della distribuzione uniforme continua è U(a,b) , dove a e b sono i valori caratteristici della distribuzione.

X\sim U(a,b)

Ad esempio, se il risultato di un esperimento casuale può assumere qualsiasi valore compreso tra 5 e 9 e tutti i possibili risultati hanno la stessa probabilità di verificarsi, l’esperimento può essere simulato con una distribuzione uniforme continua U(5.9).

Distribuzione normale

La distribuzione normale è una distribuzione di probabilità continua il cui grafico è a campana e simmetrico rispetto alla sua media. In statistica, la distribuzione normale viene utilizzata per modellare fenomeni con caratteristiche molto diverse, motivo per cui questa distribuzione è così importante.

Infatti, in statistica, la distribuzione normale è considerata di gran lunga la più importante tra tutte le distribuzioni di probabilità, perché non solo può modellare un gran numero di fenomeni del mondo reale, ma può anche essere utilizzata per approssimare altri tipi di fenomeni. distribuzioni. a determinate condizioni.

Il simbolo della distribuzione normale è la lettera maiuscola N. Quindi, per indicare che una variabile segue una distribuzione normale, si indica con la lettera N e si aggiungono tra parentesi i valori della sua media aritmetica e della deviazione standard.

X\sim N(\mu,\sigma)

La distribuzione normale ha molti nomi diversi, tra cui distribuzione gaussiana , distribuzione gaussiana e distribuzione di Laplace-Gauss .

Distribuzione lognormale

La distribuzione lognormale , o distribuzione lognormale , è una distribuzione di probabilità che definisce una variabile casuale il cui logaritmo segue una distribuzione normale.

Pertanto, se la variabile X ha una distribuzione normale, allora la funzione esponenziale e x ha una distribuzione lognormale.

X\sim \text{Lognormal}(\mu,\sigma^2)

Si noti che la distribuzione lognormale può essere utilizzata solo quando i valori della variabile sono positivi, poiché il logaritmo è una funzione che accetta solo un argomento positivo.

Tra le diverse applicazioni della distribuzione lognormale in statistica, distinguiamo l’utilizzo di questa distribuzione per analizzare investimenti finanziari ed effettuare analisi di affidabilità.

La distribuzione lognormale è conosciuta anche come distribuzione Tinaut , a volte scritta anche come distribuzione lognormale o distribuzione lognormale .

Distribuzione chi-quadrato

La distribuzione Chi-quadrato è una distribuzione di probabilità il cui simbolo è χ². Più precisamente, la distribuzione Chi-quadrato è la somma dei quadrati di k variabili casuali indipendenti con distribuzione normale.

Pertanto, la distribuzione Chi-quadrato ha k gradi di libertà. Pertanto, una distribuzione Chi-quadrato ha tanti gradi di libertà quanti sono la somma dei quadrati delle variabili normalmente distribuite che rappresenta.

\displaystyle X\sim\chi^2_k \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \begin{array}{l}\text{Distribuci\'on chi-cuadrado}\\[2ex]\text{con k grados de libertad}\end{array}

La distribuzione Chi-quadrato è anche conosciuta come distribuzione Pearson .

La distribuzione chi-quadrato è ampiamente utilizzata nell’inferenza statistica, ad esempio nei test di ipotesi e negli intervalli di confidenza. Vedremo di seguito quali sono le applicazioni di questo tipo di distribuzione di probabilità.

Distribuzione t di Student

La distribuzione t di Student è una distribuzione di probabilità ampiamente utilizzata in statistica. Nello specifico, la distribuzione t di Student viene utilizzata nel test t di Student per determinare la differenza tra le medie di due campioni e per stabilire intervalli di confidenza.

La distribuzione t di Student fu sviluppata dallo statistico William Sealy Gosset nel 1908 con lo pseudonimo di “Student”.

La distribuzione t di Student è definita dal numero di gradi di libertà, ottenuti sottraendo un’unità dal numero totale di osservazioni. Pertanto, la formula per determinare i gradi di libertà della distribuzione t di Student è ν=n-1 .

\begin{array}{c}\nu=n-1\\[2ex]X\sim t_\nu\end{array}

Distribuzione Snedecor F

La distribuzione F di Snedecor , chiamata anche distribuzione F di Fisher-Snedecor o semplicemente distribuzione F , è una distribuzione di probabilità continua utilizzata nell’inferenza statistica, in particolare nell’analisi della varianza.

Una delle proprietà della distribuzione F di Snedecor è che è definita dal valore di due parametri reali, m e n , che ne indicano i gradi di libertà. Pertanto, il simbolo della distribuzione Snedecor F è F m,n , dove m e n sono i parametri che definiscono la distribuzione.

F_{m,n}\qquad m,n>0″ title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”18″ width=”139″ style=”vertical-align: -6px;”></p> </p> <p> Matematicamente, la distribuzione F di Snedecor è uguale al quoziente tra una distribuzione chi-quadrato e i suoi gradi di libertà diviso per il quoziente tra un’altra distribuzione chi-quadrato e i suoi gradi di libertà. Pertanto, la formula che definisce la distribuzione Snedecor F è la seguente:</p> </p> <p class=\left.\begin{array}{c} X\sim \chi_m^2\\[2ex] Y\sim \chi_n^2\end{array}\right\}\color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ F_{m,n}= \cfrac{X/m}{Y/n}

La distribuzione F Fisher-Snedecor deve il suo nome allo statistico inglese Ronald Fisher e allo statistico americano George Snedecor.

Nelle statistiche, la distribuzione F Fisher-Snedecor ha diverse applicazioni. Ad esempio, la distribuzione F Fisher-Snedecor viene utilizzata per confrontare diversi modelli di regressione lineare e questa distribuzione di probabilità viene utilizzata nell’analisi della varianza (ANOVA).

Distribuzione esponenziale

La distribuzione esponenziale è una distribuzione di probabilità continua utilizzata per modellare il tempo di attesa per il verificarsi di un fenomeno casuale.

Più precisamente, la distribuzione esponenziale permette di descrivere il tempo di attesa tra due fenomeni che segue una distribuzione di Poisson. Pertanto, la distribuzione esponenziale è strettamente correlata alla distribuzione di Poisson.

La distribuzione esponenziale ha un parametro caratteristico, rappresentato dalla lettera greca λ e indica il numero di volte in cui si prevede che l’evento studiato si verifichi in un dato periodo di tempo.

X\sim \text{Exp}(\lambda)

Allo stesso modo, la distribuzione esponenziale viene utilizzata anche per modellare il tempo fino al verificarsi di un guasto. La distribuzione esponenziale ha quindi diverse applicazioni nella teoria dell’affidabilità e della sopravvivenza.

Distribuzione beta

La distribuzione beta è una distribuzione di probabilità definita sull’intervallo (0,1) e parametrizzata da due parametri positivi: α e β. In altre parole, i valori della distribuzione beta dipendono dai parametri α e β.

Pertanto, la distribuzione beta viene utilizzata per definire variabili casuali continue il cui valore è compreso tra 0 e 1.

Esistono diverse notazioni per indicare che una variabile casuale continua è governata da una distribuzione beta, le più comuni sono:

\begin{array}{c}X\sim B(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim Beta(\alpha,\beta)\\[2ex]X\sim \beta_{\alpha,\beta}\end{array}

Nelle statistiche, la distribuzione beta ha applicazioni molto diverse. Ad esempio, la distribuzione beta viene utilizzata per studiare le variazioni percentuali in diversi campioni. Allo stesso modo, nella gestione dei progetti, la distribuzione beta viene utilizzata per eseguire l’analisi Pert.

Distribuzione gamma

La distribuzione gamma è una distribuzione di probabilità continua definita da due parametri caratteristici, α e λ. In altre parole, la distribuzione gamma dipende dal valore dei suoi due parametri: α è il parametro di forma e λ è il parametro di scala.

Il simbolo della distribuzione gamma è la lettera greca maiuscola Γ. Quindi, se una variabile casuale segue una distribuzione gamma, si scrive come segue:

X\sim \Gamma(\alpha,\lambda)

La distribuzione gamma può anche essere parametrizzata utilizzando il parametro di forma k = α e il parametro di scala inversa θ = 1/λ. In tutti i casi, i due parametri che definiscono la distribuzione gamma sono numeri reali positivi.

In genere, la distribuzione gamma viene utilizzata per modellare set di dati inclinati a destra, in modo che vi sia una maggiore concentrazione di dati sul lato sinistro del grafico. Ad esempio, la distribuzione gamma viene utilizzata per modellare l’affidabilità dei componenti elettrici.

Distribuzione di Weibull

La distribuzione di Weibull è una distribuzione di probabilità continua definita da due parametri caratteristici: il parametro di forma α e il parametro di scala λ.

Nelle statistiche, la distribuzione di Weibull viene utilizzata principalmente per l’analisi della sopravvivenza. Allo stesso modo, la distribuzione Weibull ha molte applicazioni in diversi campi.

X\sim\text{Weibull}(\alpha,\lambda)

Secondo gli autori la distribuzione di Weibull può essere parametrizzata anche con tre parametri. Successivamente viene aggiunto un terzo parametro chiamato valore di soglia, che indica l’ascissa in cui inizia il grafico della distribuzione.

La distribuzione di Weibull prende il nome dallo svedese Waloddi Weibull, che la descrisse dettagliatamente nel 1951. Tuttavia, la distribuzione di Weibull fu scoperta da Maurice Fréchet nel 1927 e applicata per la prima volta da Rosin e Rammler nel 1933.

Distribuzione di Pareto

La distribuzione di Pareto è una distribuzione di probabilità continua utilizzata in statistica per modellare il principio di Pareto. Pertanto, la distribuzione di Pareto è una distribuzione di probabilità che ha pochi valori la cui probabilità di accadimento è molto più alta rispetto al resto dei valori.

Ricordiamo che la legge di Pareto, detta anche regola 80-20, è un principio statistico secondo il quale la maggior parte della causa di un fenomeno è dovuta ad una piccola parte della popolazione.

La distribuzione di Pareto ha due parametri caratteristici: il parametro di scala x m e il parametro di forma α.

X\sim \text{Pareto}(\alpha,x_m)

In origine, la distribuzione di Pareto veniva utilizzata per descrivere la distribuzione della ricchezza all’interno della popolazione, poiché la maggior parte di essa era dovuta ad una piccola percentuale della popolazione. Ma attualmente la distribuzione di Pareto ha molteplici applicazioni, ad esempio nel controllo della qualità, in economia, nella scienza, in campo sociale, ecc.

Distribuzione di probabilità continua e discreta

Le distribuzioni di probabilità possono essere classificate in distribuzioni continue e distribuzioni discrete. Quindi, finalmente, vedremo qual è la differenza tra questi due tipi di distribuzioni di probabilità.

La differenza tra distribuzioni di probabilità continue e distribuzioni di probabilità discrete è il numero di valori che possono assumere. Le distribuzioni continue possono assumere un numero infinito di valori in un intervallo, mentre le distribuzioni discrete possono assumere solo un numero numerabile di valori in un intervallo.

Pertanto, in generale, un modo per differenziare le distribuzioni continue dalle distribuzioni discrete è il tipo di numeri che possono assumere. Normalmente, una distribuzione continua può assumere qualsiasi valore, compresi i numeri decimali, mentre le distribuzioni discrete possono assumere solo numeri interi.

Informazioni sull'autore

Dr. Benjamin Anderson
Benjamin anderson

Ciao, sono Benjamin, un professore di statistica in pensione diventato insegnante dedicato di Statorials. Con una vasta esperienza e competenza nel campo della statistica, sono ansioso di condividere le mie conoscenze per potenziare gli studenti attraverso Statorials. Scopri di più

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