Intervallo di confidenza per la media

Di Benjamin anderson Agosto 3, 2023 Statistiche 0 commenti

Questo articolo spiega cos’è l’intervallo di confidenza per la media nelle statistiche e a cosa serve. Allo stesso modo, scoprirai come calcolare l’intervallo di confidenza della media e un esercizio passo passo.

Qual è l’intervallo di confidenza della media?

L’ intervallo di confidenza per la media è un intervallo che fornisce un intervallo di valori consentiti per la media di una popolazione. In altre parole, l’intervallo di confidenza per la media ci fornisce un valore massimo e un valore minimo tra i quali collega il valore della media della popolazione con un margine di errore.

Ad esempio, se l’intervallo di confidenza al 95% per la media della popolazione è (6,10), ciò significa che nel 95% dei casi la media della popolazione sarà compresa tra 6 e 10.

Pertanto, l’intervallo di confidenza della media viene utilizzato per stimare due valori tra i quali si trova la media di una popolazione. Pertanto, l’intervallo di confidenza della media è molto utile per approssimare la media di una popolazione quando tutti i suoi valori sono sconosciuti.

Formula dell’intervallo di confidenza per la media

Supponendo che il processo di immissione di una variabile proceda in questo modo:

$Z=\cfrac{X-\mu}{\displaystyle\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \sim N(0,1)$

L’intervallo di confidenza per la media viene calcolato aggiungendo e sottraendo dalla media campionaria il valore di Z _α/2 moltiplicato per la deviazione standard (σ) e diviso per la radice quadrata della dimensione del campione (n). Pertanto la formula per calcolare l’intervallo di confidenza della media è:

$\displaystyle \left(\overline{x}-z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+z_{\alpha/2}\cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$

Per campioni di grandi dimensioni e livello di confidenza del 95%, il valore critico è Z _α/2 = 1,96 e per il livello di confidenza del 99%, il valore critico è Z _α/2 = 2,576.

La formula precedente viene utilizzata quando è nota la varianza della popolazione. Tuttavia, se la varianza della popolazione non è nota, come accade nella maggior parte dei casi, l’intervallo di confidenza della media viene calcolato utilizzando la seguente formula:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

Oro:

$\overline{x}$

è la media del campione.
$t_{\alpha/2}$

è il valore della distribuzione t di Student di n-1 gradi di libertà con una probabilità di α/2.
$s$

è la deviazione standard del campione.
$n$

è la dimensione del campione.

Esempio di calcolo di un intervallo di confidenza per la media

Affinché tu possa vedere come viene calcolato l’intervallo di confidenza per la media di una popolazione, ti lasciamo di seguito un esempio risolto passo dopo passo.

Abbiamo un campione di 8 osservazioni con i valori riportati di seguito. Qual è l’intervallo di confidenza della media della popolazione al livello di confidenza del 95%?

206 203 201 212
194 176 208 201

Come abbiamo visto nella sezione precedente, la formula per ottenere l’intervallo di confidenza della media di una popolazione quando non conosciamo la deviazione standard della popolazione è la seguente:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

Quindi, per determinare l’intervallo di confidenza della media, dobbiamo prima calcolare la media campionaria e la deviazione standard.

$\begin{array}{c}\mu =200,13 \\[4ex]s=11,13\end{array}$

➤ Vedi: Calcolatore della media aritmetica
➤ Vedi: Calcolatore della deviazione standard

Poiché vogliamo trovare l’intervallo di confidenza con un livello di confidenza di 1-α=95% e la dimensione del campione è 8, dobbiamo accedere alla tabella della distribuzione t di Student e vedere quale valore corrisponde a t _0.025|7 .

$1-\alpha=0,95 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}t_{\alpha/2| n-1}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]t_{0,025| 7}=2,365\end{array}$

➤ Vedi: Valori della tabella della distribuzione t di Student

Quindi applichiamo la formula dell’intervallo di confidenza per la media ed eseguiamo i calcoli per trovare i limiti dell’intervallo:

$\displaystyle \left(\overline{x}-t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \ , \ \overline{x}+t_{\alpha/2}\cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right)$

$\displaystyle \left(200,13-2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \ , \ 200,13+2,365\cdot \frac{11,13}{\sqrt{8}} \right)$

$\displaystyle \left(190,82 \ , \ 209,43 \right)$

In conclusione, l’intervallo di confidenza calcolato ci dice che con un livello di confidenza del 95%, la media della popolazione sarà compresa tra 190,82 e 209,43.

Informazioni sull'autore

Benjamin anderson

Ciao, sono Benjamin, un professore di statistica in pensione diventato insegnante dedicato di Statorials. Con una vasta esperienza e competenza nel campo della statistica, sono ansioso di condividere le mie conoscenze per potenziare gli studenti attraverso Statorials. Scopri di più

Qual è l’intervallo di confidenza della media?

Formula dell’intervallo di confidenza per la media

Esempio di calcolo di un intervallo di confidenza per la media

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