Verifica di ipotesi per la differenza nelle proporzioni

Di Benjamin anderson Agosto 3, 2023 Statistiche 0 commenti

Questo articolo spiega cos’è il test di ipotesi per la differenza nelle proporzioni. Imparerai anche come eseguire un test di ipotesi sulla differenza di proporzioni e un esercizio passo passo.

Qual è il test di ipotesi per la differenza di proporzioni?

Il test dell’ipotesi della differenza di proporzione è un metodo utilizzato per rifiutare o accettare l’ipotesi che le proporzioni di due popolazioni siano diverse. Cioè, il test dell’ipotesi della differenza nella proporzione viene utilizzato per determinare se due proporzioni di popolazione sono uguali o meno.

Tieni presente che le decisioni prese nel test di ipotesi si basano su un livello di confidenza precedentemente stabilito, quindi non è possibile garantire che il risultato di un test di ipotesi sia sempre corretto, ma piuttosto che questo sia il risultato più probabile che sia vero.

➤ Vedi: Qual è il livello di fiducia? (statistiche)

Il test dell’ipotesi per la differenza di due proporzioni comporta il calcolo della statistica del test e il confronto con il valore critico per rifiutare o meno l’ipotesi nulla. Di seguito spiegheremo nel dettaglio come eseguire un test di ipotesi sulla differenza di proporzioni.

Infine, ricorda che in statistica il test di ipotesi può anche essere chiamato test di contrasto di ipotesi, test di ipotesi o test di significatività.

➤ Vedi: Verifica di ipotesi per la differenza nelle medie

Formula per la verifica di ipotesi per la differenza di proporzioni

La formula per calcolare la statistica del test di ipotesi per la differenza nelle proporzioni di due popolazioni è:

$\displaystyle Z=\frac{\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})-(p_1-p_2)}{\displaystyle \sqrt{p_0(1-p_0)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}$

Oro:

$Z$

è la statistica del test di ipotesi per la differenza nelle proporzioni.
$p_1$

è la proporzione della popolazione 1.
$p_2$

è la proporzione della popolazione 2.
$\widehat{p_1}$

è la proporzione del campione 1.
$\widehat{p_2}$

è la proporzione campionaria 2.
$n_1$

è la dimensione del campione 1.
$n_2$

è la dimensione del campione 2.
$p_0$

è la proporzione combinata dei due campioni.

Il rapporto combinato dei due campioni viene calcolato come segue:

$p_0=\cfrac{x_1+x_2}{n_1+n_2}$

Oro

$x_i$

è il numero di risultati nel campione iy

$n_i$

è la dimensione del campione i.

➤ Vedi: Intervallo di confidenza per la differenza nelle proporzioni

Esempio concreto di verifica di ipotesi per la differenza nelle proporzioni

Per finire di vedere cosa comporta il test di ipotesi per la differenza nelle proporzioni, di seguito viene mostrato un esempio risolto passo dopo passo di questo tipo di test di ipotesi.

Vogliamo analizzare se esiste una differenza significativa nell’effetto di due farmaci utilizzati per la stessa malattia. Per fare questo, uno dei farmaci viene applicato a un campione di 60 pazienti e 48 persone guariscono. L’altro farmaco viene invece somministrato a un campione di 65 pazienti e 55 guariscono. Eseguire un test di ipotesi con un livello di significatività del 5% per determinare se la percentuale di persone curate da ciascun farmaco è diversa.

L’ipotesi di test per questo problema consiste nella seguente ipotesi nulla e ipotesi alternativa:

$\begin{cases}H_0: p_1-p_2=0\\[2ex] H_1:p_1-p_2\neq 0 \end{cases}$

Innanzitutto, calcoliamo la proporzione di ciascun campione dividendo il numero di casi di successo per la dimensione del campione:

$\widehat{p_1}=\cfrac{48}{60}=0,80$

$\widehat{p_1}=\cfrac{55}{65}=0,85$

Troviamo quindi la proporzione combinata dei due campioni:

$p_0=\cfrac{48+55}{60+65}=0,82$

Successivamente, applichiamo la formula di verifica dell’ipotesi per la differenza nelle proporzioni per calcolare la statistica del test:

$\begin{aligned}\displaystyle Z&=\frac{\displaystyle (\widehat{p_1}-\widehat{p_2})-(p_1-p_2)}{\displaystyle \sqrt{p_0(1-p_0)\left(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}\right)}}\\[2ex]\displaystyle Z&=\frac{\displaystyle (0,80-0,85)-0}{\displaystyle \sqrt{0,82\cdot(1-0,82)\left(\frac{1}{60}+\frac{1}{65}\right)}}\\[2ex]\displaystyle Z&=-0,73 \end{aligned}$

Al contrario, cerchiamo il valore critico del test di ipotesi nella Tabella Z. Poiché il livello di significatività è 0,05 e questo è un test di ipotesi a due code, il valore critico del test è 1,96.

$\alpha=0,05 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ \alpha/2=0,025$

$\begin{array}{c}Z_{\alpha/2}= \ \color{orange}\bm{?}\\[4ex]Z_{0,025}=1,96\end{array}$

Tale che il valore assoluto della statistica del test è inferiore al valore critico, pertanto, l’ipotesi alternativa viene rifiutata e viene accettata l’ipotesi nulla del test.

$|-0,73|=0,73<1,96 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Se rechaza } H_1$

➤ Vedere: Distribuzione campionaria della differenza in proporzioni

Informazioni sull'autore

Benjamin anderson

Ciao, sono Benjamin, un professore di statistica in pensione diventato insegnante dedicato di Statorials. Con una vasta esperienza e competenza nel campo della statistica, sono ansioso di condividere le mie conoscenze per potenziare gli studenti attraverso Statorials. Scopri di più

Qual è il test di ipotesi per la differenza di proporzioni?

Formula per la verifica di ipotesi per la differenza di proporzioni

Esempio concreto di verifica di ipotesi per la differenza nelle proporzioni

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