Verifica di ipotesi bidirezionale: 3 problemi di esempio

In statistica, utilizziamo il test di ipotesi per determinare se un’affermazione su un parametro della popolazione è vera o meno.

Ogni volta che eseguiamo un test di ipotesi, scriviamo sempre un’ipotesi nulla e un’ipotesi alternativa, che assumono le seguenti forme:

H ₀ (ipotesi nulla): parametro della popolazione = ≤, ≥ un certo valore

H _A (ipotesi alternativa): parametro della popolazione <, >, ≠ un certo valore

Esistono due tipi di test di ipotesi:

• Test unilaterale : l’ipotesi alternativa contiene il segno < o >
• Test a due code : l’ipotesi alternativa contiene il segno ≠

In un test a due code , l’ipotesi alternativa contiene sempre il segno diverso ( ≠ ).

Ciò indica che stiamo testando se esiste o meno un effetto, se si tratta di un effetto positivo o negativo.

Esamina i seguenti problemi di esempio per comprendere meglio il test a due code.

Esempio 1: widget di fabbrica

Supponiamo di assumere che il peso medio di un determinato gadget prodotto in una fabbrica sia di 20 grammi. Tuttavia, un ingegnere ritiene che un nuovo metodo possa produrre widget di peso inferiore a 20 grammi.

Per verificarlo, può eseguire un test di ipotesi unilaterale con le seguenti ipotesi nulle e alternative:

• H ₀ (ipotesi nulla): μ = 20 grammi
• H _A (ipotesi alternativa): μ ≠ 20 grammi

Questo è un esempio di verifica di ipotesi a due code perché l’ipotesi alternativa contiene il segno diverso “≠”. L’ingegnere ritiene che il nuovo metodo influenzerà il peso dei widget, ma non specifica se porterà ad un aumento o una diminuzione del peso medio.

Per testarlo, utilizza il nuovo metodo per produrre 20 widget e ottiene le seguenti informazioni:

• n = 20 widget
• x = 19,8 grammi
• s = 3,1 grammi

Inserendo questi valori nel calcolatore del test t per un campione , otteniamo i seguenti risultati:

• Statistica del test t: -0,288525
• Valore p bilaterale: 0,776

Poiché il valore p non è inferiore a 0,05, l’ingegnere non riesce a rifiutare l’ipotesi nulla.

Non ci sono prove sufficienti per affermare che il peso medio effettivo dei widget prodotti con il nuovo metodo sia diverso da 20 grammi.

Esempio 2: crescita delle piante

Supponiamo che sia stato dimostrato che un fertilizzante standard fa crescere una specie di pianta in media di 10 pollici. Tuttavia, un botanico ritiene che un nuovo fertilizzante faccia crescere questa specie di pianta in una quantità media diversa da 10 pollici.

Per verificarlo, può eseguire un test di ipotesi unilaterale con le seguenti ipotesi nulle e alternative:

• H ₀ (ipotesi nulla): μ = 10 pollici
• H _A (ipotesi alternativa): μ ≠ 10 pollici

Questo è un esempio di verifica di ipotesi a due code perché l’ipotesi alternativa contiene il segno diverso “≠”. Il botanico stima che il nuovo fertilizzante influenzerà la crescita delle piante, ma non specifica se causerà un aumento o una diminuzione della crescita media.

Per verificare questa affermazione, applica il nuovo fertilizzante a un semplice campione casuale di 15 piante e ottiene le seguenti informazioni:

• n = 15 piante
• x = 11,4 pollici
• s = 2,5 pollici

Inserendo questi valori nel calcolatore del test t per un campione , otteniamo i seguenti risultati:

• statistica del test t: 2,1689
• Valore p bilaterale: 0,0478

Poiché il valore p è inferiore a 0,05, il botanico rifiuta l’ipotesi nulla.

Ha prove sufficienti per concludere che il nuovo fertilizzante fa sì che la crescita media sia diversa di 10 pollici.

Esempio 3: metodo di studio

Una professoressa ritiene che una certa tecnica di studio influenzerà il voto medio che i suoi studenti riceveranno in un dato esame, ma non è sicura se aumenterà o diminuirà il voto medio, che attualmente è 82.

Per testarlo, lascia che ogni studente utilizzi la tecnica di studio per un mese prima dell’esame, quindi somministra lo stesso esame a ciascuno studente.

Quindi esegue un test di ipotesi utilizzando le seguenti ipotesi:

• _H0 : µ = 82
• H _A : μ ≠ 82

Questo è un esempio di verifica di ipotesi a due code perché l’ipotesi alternativa contiene il segno diverso “≠”. Il professore ritiene che la tecnica di studio influenzerà la media del voto all’esame, ma non specifica se causerà un aumento o una diminuzione della media del voto.

Per verificare questa affermazione, il professore chiede a 25 studenti di utilizzare il nuovo metodo di studio e poi sostenere l’esame. Raccoglie i seguenti dati sui risultati degli esami di questo campione di studenti:

• n= 25
• x = 85
• s = 4.1

Inserendo questi valori nel calcolatore del test t per un campione , otteniamo i seguenti risultati:

• Statistica del test t: 3,6586
• Valore p bilaterale: 0,0012

Poiché il valore p è inferiore a 0,05, il professore rifiuta l’ipotesi nulla.

Ha prove sufficienti per concludere che il nuovo metodo di studio produce risultati d’esame con un punteggio medio diverso da 82.

Risorse addizionali

Le esercitazioni seguenti forniscono informazioni aggiuntive sul test delle ipotesi:

Introduzione al test di ipotesi
Cos’è un’ipotesi direzionale?
Quando rifiutare l’ipotesi nulla?