Regola di moltiplicazione

Questo articolo spiega cos’è la regola della moltiplicazione, chiamata anche regola del prodotto, nella teoria della probabilità. Troverai quindi qual è la formula della regola della moltiplicazione, esempi di come calcolare una probabilità utilizzando la regola della moltiplicazione e, inoltre, diversi esercizi risolti per esercitarti.

La regola della moltiplicazione dipende dal fatto che gli eventi siano indipendenti o dipendenti, quindi vedremo prima come appare la regola per gli eventi indipendenti e poi per gli eventi dipendenti.

Regola di moltiplicazione per eventi indipendenti

Ricorda che gli eventi indipendenti sono i risultati di un esperimento statistico la cui probabilità di accadimento non dipende l’uno dall’altro. In altre parole, due eventi A e B sono indipendenti se la probabilità che si verifichi l’evento A non dipende dal verificarsi dell’evento B e viceversa.

Formula della regola di moltiplicazione per eventi indipendenti

Pertanto, la formula per la regola di moltiplicazione per eventi indipendenti è:

Oro:

• 

  E

  

  Si tratta di due eventi indipendenti.

• 

  è la probabilità congiunta che si verifichino l’evento A e l’evento B.

• 

  è la probabilità che si verifichi l’evento A.

• 

  è la probabilità che si verifichi l’evento B.

Esempio di regola di moltiplicazione per eventi indipendenti

• Una moneta viene lanciata tre volte di seguito. Calcolare la probabilità che esca testa con tutti e tre i lanci.

In questo caso gli eventi per i quali vogliamo calcolare la probabilità congiunta sono indipendenti, poiché il risultato di un’estrazione non dipende dal risultato ottenuto nell’estrazione precedente. Pertanto, per determinare la probabilità congiunta di ottenere tre teste consecutive, dobbiamo utilizzare la formula della regola di moltiplicazione per eventi indipendenti:

Quando lanciamo una moneta, ci sono solo due possibili risultati, possiamo ottenere testa o croce. Pertanto, la probabilità di ottenere testa o croce lanciando una moneta è:

Quindi, per trovare la probabilità di ottenere testa in tutti e tre i lanci di moneta, dobbiamo moltiplicare la probabilità di ottenere testa per tre:

In breve, la probabilità di ottenere testa tre volte di seguito è del 12,5%.

Di seguito hai tutti i possibili eventi rappresentati con le loro probabilità in un diagramma ad albero, in questo modo puoi vedere meglio il processo che abbiamo seguito per ottenere la probabilità congiunta:

Regola di moltiplicazione per eventi dipendenti

Ora che abbiamo visto qual è la regola di moltiplicazione per eventi indipendenti, vediamo come appare questa legge per eventi dipendenti poiché la formula varia leggermente.

Ricorda che gli eventi dipendenti sono i risultati di un esperimento casuale la cui probabilità di accadimento dipende l’una dall’altra. Cioè due eventi sono dipendenti se la probabilità che si verifichi un evento influenza la probabilità che si verifichi l’altro evento.

Formula della regola di moltiplicazione per eventi dipendenti

Quindi, la formula per la regola di moltiplicazione per gli eventi dipendenti è:

Oro:

• 

  E

  

  Questi sono due eventi dipendenti.

• 

  è la probabilità che si verifichino l’evento A e l’evento B.

• 

  è la probabilità che si verifichi l’evento A.

• 

  è la probabilità condizionata che si verifichi l’evento B dato l’evento A.

Esempio di regola di moltiplicazione per eventi dipendenti

• In una scatola vuota mettiamo 8 palline blu, 4 palline arancioni e 2 palline verdi. Se estraiamo prima una pallina e poi un’altra pallina senza rimettere nella scatola la prima pallina estratta, qual è la probabilità che la prima pallina sia blu e la seconda arancione?

In questo caso gli eventi sono dipendenti, perché la probabilità di prendere una pallina arancione nella seconda estrazione dipende dal colore della pallina estratta nella prima estrazione. Pertanto, per calcolare la probabilità congiunta, dobbiamo utilizzare la formula della regola di moltiplicazione per eventi dipendenti:

La probabilità di ottenere una pallina blu alla prima estrazione è facile da determinare, basta dividere il numero di palline blu per il numero totale di palline:

D’altra parte, la probabilità di estrarre una pallina arancione dopo aver preso una pallina blu viene calcolata diversamente perché il numero di palline arancioni è diverso e, inoltre, ora c’è una pallina in meno all’interno della scatola:

Pertanto, la probabilità congiunta di estrarre prima una pallina blu e poi una pallina arancione viene calcolata moltiplicando le due probabilità trovate sopra:

Esercizi risolti della regola della moltiplicazione

Esercizio 1

In una città ci sono solo 3 asili nido: il 60% dei bambini va all’asilo nido A, il 30% all’asilo nido B e il 10% all’asilo nido C. Inoltre, nei tre asili nido, il 55% delle persone sono ragazze. Calcola le seguenti probabilità:

• Probabilità che quando un bambino viene selezionato casualmente dall’asilo nido B, sarà una femmina.
• Probabilità che quando un bambino viene selezionato casualmente da qualsiasi asilo nido, sarà un maschio.

Se la percentuale di ragazze in tutti gli asili nido è del 55%, la percentuale di ragazzi viene calcolata semplicemente sottraendo 1 meno 0,55:

Ora che conosciamo tutte le probabilità, possiamo creare l’albero con le probabilità di tutte le possibilità:

In questo caso gli eventi sono indipendenti, poiché la probabilità che si tratti di un maschio o di una femmina non dipende dall’asilo nido scelto. Quindi, per trovare la probabilità di selezionare casualmente una ragazza dall’asilo nido B, devi moltiplicare la probabilità di selezionare l’asilo nido B per la probabilità di selezionare una ragazza:

D’altra parte, per determinare la probabilità di selezionare un ragazzo in qualsiasi asilo nido, dobbiamo prima calcolare la probabilità di selezionare un ragazzo per ogni asilo nido, quindi sommarle insieme:

Esercizio 2

È stato studiato l’anno finanziario di 25 società di un paese e come cambiano i prezzi delle loro azioni a seconda del risultato economico dell’anno. È possibile visualizzare i dati raccolti nella seguente tabella di contingenza:

Quante probabilità ci sono che un’azienda realizzi un profitto e veda anche un aumento del prezzo delle sue azioni?

In questo caso, gli eventi sono dipendenti perché la probabilità che le azioni salgano o scendano dipende dal risultato economico. Pertanto, dobbiamo applicare la formula della regola di moltiplicazione per gli eventi dipendenti:

Calcoliamo quindi prima la probabilità che un’azienda realizzi un profitto e, in secondo luogo, la probabilità che le azioni della società aumentino quando avrà realizzato un profitto economico:

Successivamente, sostituiamo i valori calcolati nella formula e calcoliamo la probabilità congiunta: