Assiomi di probabilità

Di Benjamin anderson Agosto 1, 2023 Non categorizzato 0 commenti

Questo articolo spiega quali sono gli assiomi della probabilità. Troverai quindi la definizione assiomatica di probabilità, quali sono i diversi assiomi di probabilità e un esempio della loro applicazione.

Quali sono i 3 assiomi della probabilità?

Gli assiomi della probabilità sono:

Assioma della probabilità 1 : La probabilità di un evento non può essere negativa.
Assioma della probabilità 2 : La probabilità di un certo evento è 1.
Assioma della probabilità 3 : La probabilità di un insieme di eventi esclusivi è uguale alla somma di tutte le probabilità.

I tre assiomi della probabilità sono conosciuti anche come assiomi di Kolmogorov , perché furono formulati da questo matematico russo nel 1933.

Ogni tipo di assioma della probabilità è spiegato più dettagliatamente di seguito.

Assioma 1

Il primo assioma della probabilità dice che la probabilità che un evento si verifichi non può essere negativa e quindi il suo valore è compreso tra 0 e 1.

$0\leq P(A)\leq 1$

Se la probabilità di un evento è zero, significa che è impossibile che accada. Se invece la probabilità di un evento è 1, significa che quell’evento si verificherà sicuramente. Quindi, maggiore è il valore di probabilità di un evento, maggiore è la probabilità che si verifichi.

assioma 2

Il secondo assioma della probabilità afferma che la probabilità che si verifichi un certo evento è pari a 1.

$P(\Omega)=1$

Un certo evento è il risultato di un’esperienza casuale che accadrà sempre. Pertanto, un evento sicuro può anche essere definito come lo spazio campionario di un esperimento randomizzato.

➤ Vedi: Evento sicuro

Assioma 3

Il terzo assioma della probabilità afferma che, dato un insieme di eventi esclusivi, la probabilità congiunta di tutti gli eventi è equivalente alla somma di tutte le probabilità di accadimento.

$A\cap B= \varnothing \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

Due o più eventi sono esclusivi quando non possono verificarsi contemporaneamente. Pertanto, per calcolare la probabilità congiunta, non è necessario tenere conto della probabilità che si verifichino contemporaneamente.

➤ Vedi: Esclusi eventi

Esempio di assiomi di probabilità

Ad esempio, di seguito analizzeremo diversi risultati dell’esperimento del lancio di un dado in modo che tu possa vedere che gli assiomi della probabilità sono soddisfatti.

Quando tiri un dado, ci sono sei possibili risultati, che sono i seguenti:

$\Omega=\{1,2,3,4,5,6\}$

In questo caso, tutti i risultati sono ugualmente probabili, quindi per determinare la probabilità che si verifichi ciascun risultato, dobbiamo semplicemente trovare la probabilità di un risultato. Quindi, applichiamo la formula della regola di Laplace per calcolare la probabilità di ogni possibile risultato:

$P(\text{cualquier n\'umero})=\cfrac{1}{6}=0,167$

Allora, poiché la probabilità di ottenere ciascun risultato è positiva, il primo assioma della probabilità è soddisfatto.

Ora controlliamo il secondo assioma. In questo caso, un determinato evento “prende un numero da 1 a 6”, quindi aggiungiamo la probabilità di ottenere ciascun risultato:

$\begin{array}{l}P(\text{n\'umero del 1 al 6})=\\[2ex]=P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)+P(6)=\\[2ex]=0,167+0,167+0,167+0,167+0,167+0,167=\\[2ex]=1\end{array}$

Pertanto, la probabilità di un certo evento è uguale a 1, quindi è soddisfatto anche il secondo assioma della probabilità.

Non resta infine che verificare il terzo assioma della probabilità. I diversi risultati che possiamo ottenere lanciando un dado si escludono a vicenda, poiché ad esempio se lanciamo un 2 non potremo più ottenere un 5. Pertanto il calcolo per ottenere due numeri qualsiasi può essere effettuato in due modi: utilizzando regola di Laplace o aggiungendo la probabilità di ciascun risultato.

$P(2 \text{ o } 5)=\cfrac{2}{6}=0,33$

$P(2 \text{ o } 5)=P(2)+P(5)=0,167+0,167=0,33$

In entrambi i casi otteniamo lo stesso valore di probabilità, quindi è vero anche il terzo assioma della probabilità.

Proprietà dedotte dagli assiomi della probabilità

Dai tre assiomi della probabilità si possono dedurre le seguenti proprietà:

La probabilità di un evento impossibile è zero.

$P(\varnothing)=0$

La probabilità di qualsiasi evento è uguale o inferiore a 1.

$P(A)\leq 1$

$0\leq P(A)\leq 1$

La probabilità di un evento è pari a uno meno la probabilità del suo evento complementare .

$P(A)=1-P\left(\overline{A}\right)$

Se un evento è incluso in un altro evento, la probabilità del primo evento deve essere inferiore o uguale alla probabilità del secondo evento.

$A\subset B \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ P(A)\leq P(B)$

La probabilità di unione di due eventi è la somma delle loro probabilità meno la probabilità della loro intersezione.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Dato un insieme di eventi due per due incompatibili , la loro probabilità congiunta viene calcolata sommando la probabilità di accadimento di ciascun evento.

$P(A_1\cup A_2 \cup \ldots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\ldots+P(A_n)$

Se lo spazio campionario è finito e un evento è S={x ₁ ,x ₁ ,…,x _k }, la probabilità che si verifichi tale evento è equivalente alla seguente espressione:

$P(S)=P(x_1)+P(x_2)+\ldots+P(x_n)$

Informazioni sull'autore

Benjamin anderson

Ciao, sono Benjamin, un professore di statistica in pensione diventato insegnante dedicato di Statorials. Con una vasta esperienza e competenza nel campo della statistica, sono ansioso di condividere le mie conoscenze per potenziare gli studenti attraverso Statorials. Scopri di più