Teorema della probabilità totale

Questo articolo spiega cos’è il teorema della probabilità totale e a cosa serve in probabilità e statistica. Troverai quindi la formula del teorema della probabilità totale, gli esercizi risolti e quando si usa il teorema della probabilità totale.

Qual è il teorema della probabilità totale?

Nella teoria della probabilità, il teorema della probabilità totale è una legge che permette di calcolare la probabilità di un evento che non fa parte di uno spazio campionario dalle probabilità condizionate di tutti gli eventi in detto spazio campionario.

Pertanto, il teorema della probabilità totale viene utilizzato per calcolare la probabilità di un evento specifico sulla base di informazioni parziali su quell’evento. A volte non possiamo determinare la probabilità di un evento applicando direttamente la regola di Laplace perché non disponiamo di tutte le informazioni necessarie. Ma se conosciamo i dati su questo evento rispetto ad altri eventi, il teorema della probabilità totale è solitamente utile.

In breve, il teorema della probabilità totale viene utilizzato quando vogliamo calcolare la probabilità di un evento ma disponiamo di informazioni al riguardo solo in determinate condizioni. Ad esempio, alcune applicazioni di questo teorema implicano esperimenti con casi multipli, teoria delle code e analisi di sopravvivenza.

Formula per il teorema della probabilità totale

Il teorema della probabilità totale dice che dato un insieme di eventi {A ₁ , A ₂ ,…, A _n } che formano una partizione sullo spazio campionario, la probabilità dell’evento B è pari alla somma dei prodotti della probabilità di ciascuno evento P(A _i ) dalla probabilità condizionata P(B|A _i ).

Pertanto, la formula per il teorema della probabilità totale è:

Oro:

• 

  è la probabilità che si verifichi l’evento B.

• 

  è la probabilità condizionata dell’evento B dato l’evento A _i .

• 

  è la probabilità che si verifichi l’evento A _i .

Tieni presente che, in probabilità, una partizione dello spazio campionario è definita come un insieme di eventi reciprocamente incompatibili la cui unione forma lo spazio campionario.

Esempio concreto del teorema della probabilità totale

Dopo aver visto la definizione del teorema della probabilità totale e qual è la sua formula, vedremo un esercizio risolto su come si calcola una probabilità con il teorema della probabilità totale per comprenderne meglio il significato.

• Un negozio di elettronica vende tre marche di televisori: X, Y, Z. Si stima che il 20% delle vendite siano televisori di marca, il 4% di televisori di marca difettosi e il 4% di televisori di marca Z. i televisori sono difettosi. Quante probabilità ci sono di acquistare una TV difettosa?

L’affermazione del problema ci fornisce le probabilità che un cliente acquisterà ciascuna marca di TV:

• Evento A ₁ : Un cliente acquista _una marca di televisore
• Evento A ₂ : Un cliente acquista un televisore della marca Y → P(A ₂ )=0,50
• Evento A ₃ : Un cliente acquista un marchio televisivo Z → P(A ₃ )=0,30

Inoltre, la dichiarazione di esercizio ci fornisce anche la probabilità che un televisore di ciascuna marca sia difettoso:

Evento B: La TV è difettosa

• B|A ₁ : Dato un televisore di marca X, il televisore è difettoso → P(B|A ₁ )=0,05
• B|A ₂ : Data una marca di televisore Y, il televisore è difettoso → P(B|A ₂ )=0,03
• B|A ₃ : Dato un televisore di marca Z, il televisore è difettoso → P(B|A ₃ )=0,04

Pertanto, l’ albero delle probabilità del problema è il seguente:

Quindi, per calcolare la probabilità di acquistare un televisore difettoso, dobbiamo utilizzare la formula per la regola della probabilità totale:

Nel nostro caso, lo spazio campionario è composto da tre eventi (A ₁ , A ₂ e A ₃ ), quindi la formula per il teorema della probabilità totale è la seguente:

È quindi sufficiente sostituire le probabilità dell’espressione precedente per trovare la probabilità di acquistare un televisore difettoso:

In conclusione, c’è il 3,7% di probabilità che acquistiamo un televisore e che sia difettoso.

Teorema della probabilità totale e teorema di Bayes

Il teorema della probabilità totale e il teorema di Bayes sono due teoremi importanti nella teoria della probabilità, in particolare perché ci consentono di calcolare le probabilità dai valori di probabilità condizionale.

Il teorema di Bayes è una legge della teoria della probabilità che viene utilizzata per calcolare la probabilità di un evento quando si conoscono informazioni a priori su quell’evento.

Nello specifico, il teorema della probabilità totale e il teorema di Bayes sono correlati, infatti, il denominatore della formula del teorema di Bayes è equivalente alla formula del teorema della probabilità totale.

Fare clic sul seguente collegamento per vedere cos’è il teorema di Bayes ed esempi della sua applicazione: