Come creare un intervallo di confidenza utilizzando la distribuzione f

Per determinare se le varianze di due popolazioni sono uguali, possiamo calcolare il rapporto di varianza σ ² ₁ / σ ² ₂ , dove σ ² ₁ è la varianza della popolazione 1 e σ ² ₂ è la varianza della popolazione 2.

Per stimare il vero rapporto di varianza della popolazione, generalmente prendiamo un campione casuale semplice da ciascuna popolazione e calcoliamo il rapporto di varianza campionaria, s ₁ ² / s ₂ ² , dove s ₁ ² e s ₂ ² sono le varianze campionarie per il campione 1 e il campione . 2, rispettivamente.

Questo test presuppone che s ₁ ² e s ₂ ² siano calcolati da campioni indipendenti di dimensione n ₁ e n ₂ , entrambi provenienti da popolazioni distribuite normalmente.

Quanto più questo rapporto è lontano da uno, tanto più forte è l’evidenza di varianze disuguali all’interno della popolazione.

L’intervallo di confidenza (1-α)100% per σ ² ₁ / σ ² ₂ è definito come:

(s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n 1 -1, n 2 -1, α/2} ≤ σ ² ₁ / σ ² ₂ ≤ (s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n 2 -1, n 1 -1, α/2}

dove F _{n 2 -1, n 1 -1, α/2} e F _{n 1 -1, n 2 -1, α/2}   sono i valori critici della distribuzione F per il livello di significatività α scelto.

I seguenti esempi illustrano come creare un intervallo di confidenza per σ ² ₁ / σ ² ₂ utilizzando tre metodi diversi:

• Per mano
• Utilizzare Microsoft Excel
• Utilizzo del software statistico R

Per ciascuno dei seguenti esempi, utilizzeremo le seguenti informazioni:

• α = 0,05
• _n1 = 16
• _n2 = 11
• _s12 ⁼ 28,2
• _s22 ⁼ 19,3

Creazione manuale di un intervallo di confidenza

Per calcolare manualmente un intervallo di confidenza per σ ² ₁ / σ ² ₂ , inseriremo semplicemente i numeri che abbiamo nella formula dell’intervallo di confidenza:

(s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n1-1, n2-1,α/2} ≤ σ ² ₁ / σ ² ₂ ≤ (s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n2-1, n1-1, α/2}

Gli unici numeri che ci mancano sono i valori critici. Fortunatamente, possiamo individuare questi valori critici nella tabella di distribuzione F :

F _{n2-1, n1-1, α/2} = F _{10, 15, 0,025} = 3,0602

F _{n1-1, n2-1, α/2} = 1/ F _{15, 10, 0,025} = 1 / 3,5217 = 0,2839

(clicca per ingrandire la tabella)

Ora possiamo inserire tutti i numeri nell’intervallo della formula di confidenza:

(s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n1-1, n2-1,α/2} ≤ σ ² ₁ / σ ² ₂ ≤ (s ₁ ² / s ₂ ² ) * F _{n2-1, n1-1, α/2}

(28,2 / 19,3) * (0,2839) ≤ σ ² ₁ / σ ² ₂ ≤ (28,2 / 19,3) * (3,0602)

0,4148 ≤ σ ² ₁ / σ ² ₂ ≤ 4,4714

Pertanto, l’intervallo di confidenza al 95% per il rapporto delle varianze della popolazione è (0,4148, 4,4714) .

Creazione di un intervallo di confidenza utilizzando Excel

L’immagine seguente mostra come calcolare un intervallo di confidenza al 95% per il rapporto di varianza della popolazione in Excel. I limiti inferiore e superiore dell’intervallo di confidenza sono mostrati nella colonna E e la formula utilizzata per trovare i limiti inferiore e superiore è mostrata nella colonna F:

Pertanto, l’intervallo di confidenza al 95% per il rapporto delle varianze della popolazione è (0,4148, 4,4714) . Ciò corrisponde a ciò che abbiamo ottenuto quando abbiamo calcolato manualmente l’intervallo di confidenza.

Creazione di un intervallo di confidenza utilizzando R

Il codice seguente illustra come calcolare un intervallo di confidenza al 95% per il rapporto delle varianze della popolazione in R:

 #define significance level, sample sizes, and sample variances
alpha <- .05
n1 <- 16
n2 <- 11
var1 <- 28.2
var2 <- 19.3

#define F critical values
upper_crit <- 1/qf(alpha/2, n1-1, n2-1)
lower_crit <- qf(alpha/2, n2-1, n1-1)

#find confidence interval
lower_bound <- (var1/var2) * lower_crit
upper_bound <- (var1/var2) * upper_crit

#output confidence interval
paste0("(", lower_bound, ", ", upper_bound, " )")

#[1] "(0.414899337980266, 4.47137571035219 )"

Pertanto, l’intervallo di confidenza al 95% per il rapporto delle varianze della popolazione è (0,4148, 4,4714) . Ciò corrisponde a ciò che abbiamo ottenuto quando abbiamo calcolato manualmente l’intervallo di confidenza.

Risorse addizionali

Come leggere il quadro di distribuzione F
Come trovare il valore critico F in Excel