Un'introduzione alla distribuzione binomiale negativa

La distribuzione binomiale negativa descrive la probabilità di sperimentare un certo numero di fallimenti prima di sperimentare un certo numero di successi in una serie di prove Bernoulliane.

Una prova Bernoulli è un esperimento con solo due possibili esiti – “successo” o “fallimento” – e la probabilità di successo è la stessa ogni volta che l’esperimento viene condotto.

Un esempio di saggio di Bernoulli è il lancio di una moneta. La moneta può atterrare solo su due teste (potremmo chiamare testa un “colpo” e croce un “fallimento”) e la probabilità di successo su ogni lancio è 0,5, presupponendo che la moneta sia giusta.

Se una variabile casuale

P(X=k) = _k+r-1 C _k * (1-p) ^r *p ^k

Oro:

• k: numero di fallimenti
• r: numero di successi
• p: probabilità di successo in una determinata prova
• _k+r-1 C _k : numero di combinazioni di (k+r-1) cose prese k alla volta

Ad esempio, supponiamo di lanciare una moneta e definire un evento “riuscito” come se esca testa. Qual è la probabilità di riscontrare 6 fallimenti prima di riscontrare un totale di 4 successi?

Per rispondere a questa domanda, possiamo utilizzare la distribuzione binomiale negativa con i seguenti parametri:

• k: numero di fallimenti = 6
• r: numero di successi = 4
• p: probabilità di successo in una determinata prova = 0,5

Inserendo questi numeri nella formula, troviamo che la probabilità è:

P(X=6 errori) = _6+4-1 C ₆ * (1-.5) ⁴ *(.5) ⁶ = (84)*(.0625)*(.015625) = 0.08203 .

Proprietà della distribuzione binomiale negativa

La distribuzione binomiale negativa ha le seguenti proprietà:

Il numero medio di fallimenti che ci aspettiamo prima di ottenere r successi è pr/(1-p) .

La varianza del numero di fallimenti attesi prima di ottenere r successi è pr / (1-p) ² .

Ad esempio, supponiamo di lanciare una moneta e definire un evento “riuscito” come se esca testa.

Il numero medio di fallimenti (ad esempio atterraggio di coda) che ci aspetteremmo prima di ottenere 4 successi sarebbe pr/(1-p) = (.5*4) / (1-.5) = 4 .

La varianza del numero di fallimenti che ci aspettiamo prima di ottenere 4 successi sarebbe pr/(1-p) ² = (.5*4)/(1-.5) ² = 8 .

Problemi pratici di distribuzione binomiale negativa

Utilizza i seguenti problemi pratici per verificare la tua conoscenza della distribuzione binomiale negativa.

Nota: utilizzeremo il calcolatore della distribuzione binomiale negativa per calcolare le risposte a queste domande.

Problema 1

Domanda: Supponiamo di lanciare una moneta e definire un evento “di successo” come se esca testa. Qual è la probabilità di riscontrare 3 fallimenti prima di riscontrare un totale di 4 successi?

Risposta: utilizzando il calcolatore della distribuzione binomiale negativa con k = 3 fallimenti, r = 4 successi e p = 0,5, troviamo che P(X=3) = 0,15625 .

Problema 2

Domanda: Supponiamo di andare porta a porta a vendere caramelle. Consideriamo un “successo” se qualcuno acquista una barretta di cioccolato. La probabilità che una determinata persona acquisti una barretta di cioccolato è 0,4. Qual è la probabilità di riscontrare 8 fallimenti prima di riscontrare un totale di 5 successi?

Risposta: utilizzando il calcolatore della distribuzione binomiale negativa con k = 8 fallimenti, r = 5 successi e p = 0,4, troviamo che P(X=8) = 0,08514 .

Problema 3

Domanda: Supponiamo di lanciare un dado e definire un lancio “riuscito” come l’esito del numero 5. La probabilità che il dado esca 5 in un dato lancio è 1/6 = 0,167. Qual è la probabilità di riscontrare 4 fallimenti prima di riscontrare un totale di 3 successi?

Risposta: utilizzando il calcolatore della distribuzione binomiale negativa con k = 4 fallimenti, r = 3 successi e p = 0,167, troviamo che P(X=4) = 0,03364 .