Aspettativa matematica (o valore atteso)

Di Benjamin anderson Agosto 5, 2023 Probabilità 0 commenti

Questo articolo spiega qual è l’aspettativa matematica (o valore atteso) di una variabile casuale e come calcolarla. Troverai un esercizio risolto di speranza matematica. Inoltre, puoi trovare il valore atteso di qualsiasi set di dati con un calcolatore online.

Cos’è l’aspettativa matematica (o valore atteso)?

In statistica, l’aspettativa , detta anche valore atteso , è un numero che rappresenta il valore medio di una variabile casuale. L’aspettativa matematica è pari alla somma di tutti i prodotti formati dai valori degli eventi casuali e dalle rispettive probabilità che si verifichino.

Il simbolo dell’aspettativa è la E maiuscola, ad esempio l’aspettativa della variabile statistica X è rappresentata da E(X).

Allo stesso modo, il valore dell’aspettativa matematica di un set di dati coincide con la sua media (media della popolazione).

Come calcolare l’aspettativa matematica

Per calcolare il valore atteso matematico di una variabile discreta, è necessario seguire i seguenti passaggi:

Moltiplicare ogni possibile evento per la sua probabilità che si verifichi.
Somma tutti i risultati ottenuti nel passaggio precedente.
Il valore ottenuto è l’aspettativa matematica (o valore atteso) della variabile.

Pertanto, la formula per calcolare l’aspettativa matematica (o valore atteso) di una variabile discreta è la seguente:

👉 Puoi utilizzare la calcolatrice qui sotto per calcolare il valore atteso di qualsiasi set di dati.

Tieni presente che la formula sopra può essere utilizzata solo se la variabile casuale è discreta (nella maggior parte dei casi). Ma se la variabile è continua, dobbiamo utilizzare la seguente formula per ottenere l’aspettativa matematica:

$\displaystyle E(X)=\int_\mathbb{R} x\cdot f_x(x) dx$

Oro

$f_x$

è la funzione di densità della variabile continua

esempio di aspettativa matematica

Considerando la definizione di aspettativa (o valore atteso), di seguito è riportato un esempio concreto in modo da poter vedere come viene eseguito il calcolo.

Una persona partecipa a un gioco in cui può vincere o perdere denaro in base al numero che appare lanciando un dado. Se esce 1 vinci $800, se esci 2 o 3 perdi $500 e se esci 4, 5 o 6 vinci $100. Il prezzo per partecipare è di 50$. Consiglieresti di partecipare a questo gioco di probabilità?

La prima cosa da fare è determinare la probabilità di ciascun evento. Poiché un dado ha sei facce, la probabilità che esca un numero qualsiasi è:

$p(\text{obtener un n\'umero})=\cfrac{1}{6}$

La probabilità di accadimento di ciascun evento è quindi:

$p(\text{ganar }\$800)=\cfrac{1}{6}$

$p(\text{perder }\$500)=2\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{2}{6}$

$p(\text{ganar }\$100)=3\cdot \cfrac{1}{6}=\cfrac{3}{6}$

Ora che conosciamo la probabilità che si verifichi ogni evento, applichiamo la formula matematica per l’aspettativa:

$\displaystyle E(X)=\sum_{i=1}^nx_i\cdot p_i$

E calcoliamo l’aspettativa matematica (o valore atteso):

$E(X)=800\cdot\cfrac{1}{6}-500\cdot \cfrac{2}{6}+100\cdot\cfrac{3}{6}=\$16,67$

Il valore atteso è inferiore al prezzo di partecipazione a questo gioco, quindi sarebbe meglio non giocare perché alla lunga finiresti per perdere soldi. Può darsi che se partecipi solo quando raggiunge 1, otterrai un grande profitto, ma la probabilità di subire perdite a lungo termine è alta.

Va notato che il risultato dell’aspettativa matematica a volte è un valore impossibile, ad esempio in questo caso non è possibile ottenere $ 16,67.

Calcolatore delle aspettative

Immettere una serie di dati statistici nella seguente calcolatrice per calcolare il valore atteso. Devi inserire nella prima casella il valore di ciascun evento e nella seconda casella la sua probabilità che si verifichi nello stesso ordine.

I dati devono essere separati da uno spazio e inseriti utilizzando il punto come separatore decimale.

Proprietà dell’aspettativa matematica

Le proprietà dell’aspettativa matematica sono le seguenti:

L’aspettativa matematica di una costante è essa stessa.

$E(k)=k$

L’aspettativa di una variabile casuale moltiplicata per uno scalare è uguale all’aspettativa di questa variabile moltiplicata per questo scalare.

$E(k\cdot X)=k\cdot E(X)$

L’aspettativa matematica della somma di due variabili è equivalente alla somma delle aspettative matematiche di ciascuna variabile.

$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$

In generale, moltiplicando due variabili si produce una aspettativa matematica diversa. Il risultato è lo stesso solo se le variabili sono indipendenti.

$E(X\cdot Y)\neq E(X)\cdot E(Y)$

Se tutti i valori di una variabile sono maggiori o uguali a zero, anche la speranza matematica di quella variabile è positiva o uguale a zero.

$X\geq 0 \ \longrightarrow \ E(X)\geq 0$

Se tutti i valori di una variabile sono inferiori a tutti i valori di un’altra variabile, le aspettative delle due variabili hanno la stessa relazione.

$X\leq Y \ \longrightarrow \ E(X)\leq E(Y)$

Se sappiamo che una variabile è limitata da due valori, anche la sua aspettativa matematica è logicamente limitata.

$a <ul> <li> Si une variable est la combinaison linéaire d’une autre variable, ses attentes mathématiques satisfont à la même relation algébrique : </li> </ul> <p>[latex]Y=a+bX \ \longrightarrow \ E(Y)=a+b\cdot E(X)” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”41″ width=”1116″ style=”vertical-align: -5px;”></p> </p> <h2 class=$ A cosa serve l’aspettativa matematica?

In questa sezione finale, approfondiremo il significato della speranza matematica. Concretamente vedremo a cosa serve questa misura statistica e comprenderemo così meglio il concetto.

L’aspettativa matematica (o valore atteso) viene utilizzata per avere un valore dell’importo che si prevede di guadagnare o perdere a lungo termine in uno spazio probabilistico. In altre parole, l’aspettativa matematica indica il rendimento che si otterrà nel lungo termine.

Quando una persona pensa di fare un investimento, come ad esempio acquistare azioni di una società, uno dei parametri da tenere in considerazione è l’aspettativa matematica. Perché se facessi questo investimento più volte, il ritorno economico che otterresti sarebbe il valore dell’aspettativa matematica. Può essere considerato come una media dei benefici ottenuti.

Allo stesso modo, l’aspettativa matematica viene utilizzata anche in altri campi come l’econometria, la fisica quantistica, il commercio e persino la biologia.

Informazioni sull'autore

Benjamin anderson

Ciao, sono Benjamin, un professore di statistica in pensione diventato insegnante dedicato di Statorials. Con una vasta esperienza e competenza nel campo della statistica, sono ansioso di condividere le mie conoscenze per potenziare gli studenti attraverso Statorials. Scopri di più