L'approssimazione di satterthwaite: definizione ed esempio

L’ approssimazione di Satterthwaite è una formula utilizzata per trovare i “gradi di libertà effettivi” in un test t a due campioni.

Viene utilizzato più spesso nel test t di Welch , che confronta le medie di due campioni indipendenti senza presupporre che le popolazioni da cui vengono estratti i campioni abbiano varianze uguali.

La formula per l’approssimazione di Satterthwaite è la seguente:

 Degrees of freedom: (s 1 2 /n 1 + s 2 2 /n 2 ) 2 / {[(s 1 2 /n 1 ) 2 /(n 1 – 1)] + [(s 2 2 /n 2 ) 2 /(n 2 – 1)]}

Oro:

• s ₁ ² , s ₂ ² : la varianza campionaria del primo e del secondo campione, rispettivamente.
• _n1 , _n2 : la dimensione del campione rispettivamente del primo e del secondo campione.

L’esempio seguente mostra come utilizzare l’approssimazione Satterthwaite per calcolare i gradi di libertà effettivi.

Esempio: Calcolo dell’approssimazione di Satterthwaite

Supponiamo di voler sapere se l’altezza media di due diverse specie di piante è uguale. Quindi raccoglieremo due semplici campioni casuali di ciascuna specie e misureremo l’altezza delle piante in ciascun campione.

I seguenti valori indicano l’altezza (in pollici) di ciascun campione:

Campione 1: 14, 15, 15, 15, 16, 18, 22, 23, 24, 25, 25

Esempio 2: 10, 12, 14, 15, 18, 22, 24, 27, 31, 33, 34, 34, 34

Le medie, le varianze e le dimensioni del campione risultano essere:

• x1 ₌ 19,27
• x2 ₌ 23,69
• _s12 ⁼ 20,42
• _s22 ⁼ 83,23
• n1 ₌ 11
• n2 = ₁₃

Quindi possiamo inserire i valori delle varianze e delle dimensioni del campione nella formula di approssimazione di Satterthwaite per trovare i gradi di libertà effettivi:

 df = (s 1 2 /n 1 + s 2 2 /n 2 ) 2 / {[(s 1 2 /n 1 ) 2 /(n 1 – 1)] + [(s 2 2 /n 2 ) 2 / (n 2 – 1)]} 

df = (20.42/11 + 83.23/13) 2 /{[(20.42/11) 2 /(11 – 1)] + [(83.23/13) 2 /(13 – 1)]} = 18.137

I gradi di libertà effettivi risultano essere 18.137 .

In genere, arrotondiamo questo valore all’intero più vicino, quindi i gradi di libertà che utilizzeremmo nel nostro test t di Welch sono 18 .

Infine, troveremo il valore critico t nella tabella di distribuzione t che corrisponde a un test a due code con alpha = 0,05 per 18 gradi di libertà:

Il valore critico t è 2.101 .

Calcoleremo quindi la nostra statistica del test come segue:

Statistica del test: ( x ₁ – x ₂ ) / (√ s ₁ ² /n ₁ + s ₂ ² /n ₂ )

Statistica del test: (19,27 – 23,69) / (√ 20,42/11 + 83,23/13 ) = -4,42 / 2,873 = -1,538

Poiché il valore assoluto della nostra statistica test (1.538) non è maggiore del valore critico t, non riusciamo a rifiutare l’ipotesi nulla del test.

Non ci sono prove sufficienti per affermare che i mezzi delle due popolazioni siano significativamente diversi.

L’approssimazione di Satterthwaite in pratica

In pratica, raramente sarà necessario calcolare manualmente l’approssimazione di Satterthwaite.

Invece, i comuni software statistici come R, Python, Excel, SAS e Stata possono tutti utilizzare l’approssimazione Satterthwaite per calcolare automaticamente i gradi di libertà effettivi.

Risorse addizionali

Introduzione al test di ipotesi
Un’introduzione al test t a due campioni
Un’introduzione al test t di Welch