Approssimazione binomiale normale: definizione ed esempio

Se _ _ _ _ _

• μ = np
• σ = √np(1-p)

Risulta che se n è abbastanza grande, allora possiamo usare la distribuzione normale per approssimare le probabilità legate alla distribuzione binomiale. Questa è chiamata approssimazione binomiale normale .

Affinché n sia “abbastanza grande”, deve soddisfare i seguenti criteri:

• np ≥ 5
• n(1-p) ≥ 5

Quando entrambi i criteri sono soddisfatti, possiamo utilizzare la distribuzione normale per rispondere a domande di probabilità relative alla distribuzione binomiale.

Tuttavia, la distribuzione normale è una distribuzione di probabilità continua mentre la distribuzione binomiale è una distribuzione di probabilità discreta, quindi dobbiamo applicare la correzione di continuità quando calcoliamo le probabilità.

In poche parole, una correzione di continuità è il nome dato all’aggiunta o alla sottrazione di 0,5 da un valore x discreto.

Ad esempio, supponiamo di voler trovare la probabilità che una moneta esca testa inferiore o uguale a 45 volte nel corso di 100 lanci. Vogliamo cioè trovare P(X ≤ 45). Per utilizzare la distribuzione normale per approssimare la distribuzione binomiale, troveremmo invece P(X ≤ 45,5).

La tabella seguente mostra quando dovresti aggiungere o sottrarre 0,5, a seconda del tipo di probabilità che stai cercando di trovare:

Il seguente esempio passo passo mostra come utilizzare la distribuzione normale per approssimare la distribuzione binomiale.

Esempio: approssimazione normale del binomio

Supponiamo di voler conoscere la probabilità che una moneta esca testa minore o uguale a 43 volte in 100 lanci.

In questa situazione abbiamo i seguenti valori:

• n (numero di prove) = 100
• X (numero di successi) = 43
• p (probabilità di successo in una determinata prova) = 0,50

Per calcolare la probabilità che la moneta esca testa inferiore o uguale a 43 volte, possiamo utilizzare i seguenti passaggi:

Passaggio 1: verificare che la dimensione del campione sia sufficientemente grande da utilizzare l’approssimazione normale.

Innanzitutto dobbiamo verificare che siano soddisfatti i seguenti criteri:

• np ≥ 5
• n(1-p) ≥ 5

In questo caso abbiamo:

• np = 100*0,5 = 50
• n(1-p) = 100*(1 – 0,5) = 100*0,5 = 50

Entrambi i numeri sono maggiori di 5, quindi possiamo tranquillamente usare l’approssimazione normale.

Passaggio 2: determinare la correzione di continuità da applicare.

Facendo riferimento alla tabella sopra, vediamo che dovremmo aggiungere 0,5 quando lavoriamo con la probabilità nella forma di X ≤ 43. Quindi, troveremo P(X< 43,5).

Passaggio 3: Trova la media (μ) e la deviazione standard (σ) della distribuzione binomiale.

µ = n*p = 100*0,5 = 50

σ = √ n*p*(1-p) = √ 100*,5*(1-,5) = √ 25 = 5

Passaggio 4: Trova il punteggio z utilizzando la media e la deviazione standard trovate nel passaggio precedente.

z = (x – μ) / σ = (43,5 – 50) / 5 = -6,5 / 5 = -1,3.

Passaggio 5: Trova la probabilità associata al punteggio z.

Possiamo usare il normale calcolatore CDF per scoprire che l’area sotto la curva normale standard a sinistra di -1,3 è 0,0968 .

Quindi la probabilità che una moneta esca testa inferiore o uguale a 43 volte in 100 lanci è 0,0968 .

Questo esempio illustra quanto segue:

• Avevamo una situazione in cui una variabile casuale seguiva una distribuzione binomiale.
• Volevamo trovare la probabilità di ottenere un certo valore per questa variabile casuale.
• Poiché la dimensione del campione (n = 100 prove) era sufficientemente ampia, siamo stati in grado di utilizzare la distribuzione normale per approssimare la distribuzione binomiale.

Questo è un esempio completo di come utilizzare l’approssimazione normale per trovare le probabilità relative alla distribuzione binomiale.