Distribuzione binomiale e distribuzione geometrica: somiglianze e differenze

Due distribuzioni comunemente usate in statistica sono la distribuzione binomiale e la distribuzione geometrica .

Questo tutorial fornisce una breve spiegazione di ciascuna distribuzione, nonché le somiglianze e le differenze tra le due.

La distribuzione binomiale

La distribuzione binomiale descrive la probabilità di ottenere k successi in n esperimenti binomiali .

Se una variabile casuale X segue una distribuzione binomiale, la probabilità che X = k successo può essere trovata con la seguente formula:

P(X=k) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Oro:

• n: numero di prove
• k: numero di successi
• p: probabilità di successo in una determinata prova
• _n C _k : il numero di modi per ottenere k successi in n prove

Ad esempio, supponiamo di lanciare una moneta 3 volte. Possiamo usare la formula sopra per determinare la probabilità di ottenere 0 testa durante questi 3 lanci:

P(X=0) = ₃ C ₀ * 0,5 ⁰ * (1-0,5) ^3-0 = 1 * 1 * (0,5) ³ = 0,125

La distribuzione geometrica

La distribuzione geometrica descrive la probabilità di sperimentare un certo numero di fallimenti prima di sperimentare il primo successo in una serie di esperimenti binomiali.

Se una variabile casuale X segue una distribuzione geometrica, la probabilità di sperimentare k fallimenti prima di sperimentare il primo successo può essere trovata dalla seguente formula:

P(X=k) = (1-p) ^kp

Oro:

• k: numero di fallimenti prima del primo successo
• p: probabilità di successo in ciascuna prova

Ad esempio, supponiamo di voler sapere quante volte dobbiamo lanciare una moneta equilibrata finché non esce testa. Possiamo usare la formula sopra per determinare la probabilità di sperimentare 3 “mancati” prima che la moneta esca finalmente testa:

P(X=3) = (1-0,5) ³ (0,5) = 0,0625

Somiglianze e differenze

Le distribuzioni binomiale e geometrica condividono le seguenti somiglianze :

• Il risultato degli esperimenti in entrambe le distribuzioni può essere classificato come “successo” o “fallimento”.
• La probabilità di successo è la stessa per ogni prova.
• Ogni test è indipendente.

Le distribuzioni condividono la seguente differenza fondamentale:

• In una distribuzione binomiale c’è un numero fisso di prove (es. lancia una moneta 3 volte)
• In una distribuzione geometrica, a noi interessa il numero di tentativi necessari finché non otteniamo un successo (cioè quante inversioni dovremo fare prima di vedere Croce?)

Problemi pratici: quando utilizzare ciascuna distribuzione

In ciascuno dei seguenti problemi pratici, determina se la variabile casuale segue una distribuzione binomiale o geometrica.

Problema 1: lancia i dadi

Jessica gioca un gioco di fortuna in cui continua a lanciare un dado finché non esce il numero 4. Sia X il numero di lanci finché non appare un 4. Che tipo di distribuzione segue la variabile casuale X ?

Risposta : test.

Problema 2: Tiri liberi

Tyler realizza l’80% di tutti i tiri liberi che tenta. Supponiamo che effettui 10 tiri liberi. Sia X il numero di volte in cui Tyler realizza un canestro nei 10 tentativi. Che tipo di distribuzione segue la variabile casuale X ?

Risposta :

Risorse addizionali

Calcolatore della distribuzione binomiale
Calcolatore della distribuzione geometrica