Come calcolare i gradi di libertà per qualsiasi test t

In statistica, ci sono tre test t comunemente usati:

Test t per un campione : utilizzato per confrontare la media della popolazione con un determinato valore.

Test t a due campioni : utilizzato per confrontare due medie di popolazione.

Test t per campioni accoppiati : utilizzato per confrontare le medie di due popolazioni quando ciascuna osservazione in un campione può essere associata a un’osservazione nell’altro campione.

Quando si esegue ciascun test t, sarà necessario calcolare una statistica del test e i corrispondenti gradi di libertà .

Ecco come calcolare i gradi di libertà per ciascun tipo di test:

Test t per un campione: df = n-1 dove n è il numero totale di osservazioni.

Test t a due campioni: df = n ₁ + n ₂ – 2 dove n ₁ , n ₂ sono le osservazioni totali di ciascun campione.

Test t per campioni accoppiati: n-1 dove n è il numero totale di coppie.

Gli esempi seguenti mostrano come calcolare nella pratica i gradi di libertà per ciascun tipo di test t.

Esempio 1: gradi di libertà per un test t per un campione

Supponiamo di voler sapere se il peso medio di una certa specie di tartaruga è pari o meno a 310 libbre.

Supponiamo di raccogliere un campione casuale di tartarughe con le seguenti informazioni:

• Dimensione del campione n = 40
• Peso medio del campione x = 300
• Deviazione standard del campione s = 18,5

Effettueremo un t-test su un campione con le seguenti ipotesi:

• H ₀ : μ = 310 (la media della popolazione è pari a 310 libri)
• H _A : μ ≠ 310 (la media della popolazione non è uguale a 310 libbre)

Innanzitutto, calcoleremo la statistica del test:

t = ( x – μ) / (s/ √n ) = (300-310) / (18,5/ √40 ) = -3,4187

Successivamente, calcoleremo i gradi di libertà:

df = n -1 = 40 – 1 = 39

Infine, inseriremo le statistiche del test e i gradi di libertà nel calcolatore del punteggio T del valore P per scoprire che il valore p è 0,00149 .

Poiché questo valore p è inferiore al nostro livello di significatività α = 0,05, rifiutiamo l’ipotesi nulla. Abbiamo prove sufficienti per affermare che il peso medio di questa specie di tartaruga non è pari a 310 libbre.

Esempio 2: gradi di libertà per un t-test a due campioni

Supponiamo di voler sapere se il peso medio di due diverse specie di tartarughe è uguale o meno.

Supponiamo di raccogliere un campione casuale di tartarughe da ciascuna popolazione con le seguenti informazioni:

Esempio 1:

• Dimensione del campione n ₁ = 40
• Peso medio del campione x ₁ = 300
• Deviazione standard del campione s ₁ = 18,5

Esempio 2:

• Dimensione del campione _n2 = 38
• Peso medio del campione x ₂ = 305
• Deviazione standard del campione s ₂ = 16,7

Effettueremo un t-test su due campioni con le seguenti ipotesi:

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ (le due medie della popolazione sono uguali)
• H _A : μ ₁ ≠ μ ₂ (le due medie della popolazione non sono uguali)

Innanzitutto, calcoleremo la deviazione standard aggregata s _p :

s _p = √ (n ₁ -1)s ₁ ² + (n ₂ -1)s ₂ ² / (n ₁ +n ₂ -2) = √ ( 40-1)18,5 ² + (38-1) 16,7 ² / (40+38-2) = 17.647

Successivamente, calcoleremo la statistica t -test:

t = ( x ₁ – x ₂ ) / s _p (√ 1/n ₁ + 1/n ₂ ) = (300-305) / 17,647(√ 1/40 + 1/38 ) = -1,2508

Successivamente, calcoleremo i gradi di libertà:

df = _n1 + _n2 – 2 = 40 + 38 – 2 = 76

Infine, inseriremo le statistiche del test e i gradi di libertà nel calcolatore del punteggio T del valore P per scoprire che il valore p è 0,21484 .

Poiché questo valore p non è inferiore al nostro livello di significatività α = 0,05, non riusciamo a rifiutare l’ipotesi nulla. Non abbiamo prove sufficienti per affermare che il peso medio delle tartarughe tra queste due popolazioni sia diverso.

Esempio 3: gradi di libertà per il t-test per campioni accoppiati

Supponiamo di voler sapere se un determinato programma di allenamento è in grado o meno di aumentare il salto verticale massimo (in pollici) dei giocatori di basket universitari.

Per verificarlo, possiamo reclutare un semplice campione casuale di 20 giocatori di basket universitari e misurare ciascuno dei loro salti verticali massimi. Successivamente possiamo far utilizzare a ciascun giocatore il programma di allenamento per un mese e poi misurare nuovamente il salto verticale massimo alla fine del mese.

Per determinare se il programma di allenamento ha effettivamente avuto un effetto sul salto verticale massimo, eseguiremo un t-test a campioni appaiati.

Innanzitutto, calcoleremo i seguenti dati riepilogativi per le differenze:

• x _diff : media campionaria delle differenze = -0,95
• s: deviazione standard campionaria delle differenze = 1.317
• n: dimensione del campione (ovvero numero di coppie) = 20

Effettueremo un t-test per campioni appaiati con le seguenti ipotesi:

• H ₀ : μ ₁ = μ ₂ (le due medie della popolazione sono uguali)
• H _A : μ ₁ ≠ μ ₂ (le due medie della popolazione non sono uguali)

Successivamente, calcoleremo la statistica del test:

t = x _diff / (s _diff /√n) = -0,95 / (1,317/√20) = -3,226

Successivamente calcoleremo i gradi di libertà :

df = n – 1 = 20 – 1 = 19

Secondo il calcolatore del punteggio T al valore P , il valore p associato a t = -3,226 e gradi di libertà = n-1 = 20-1 = 19 è 0,00445 .

Poiché questo valore p è inferiore al nostro livello di significatività α = 0,05, rifiutiamo l’ipotesi nulla. Abbiamo prove sufficienti per affermare che il salto verticale massimo medio dei giocatori è diverso prima e dopo la partecipazione al programma di allenamento.

Risorse addizionali

I seguenti calcolatori possono essere utilizzati per eseguire automaticamente test t in base ai dati forniti:

Un esempio di calcolatore del test t
Calcolatore del test t a due campioni
Calcolatore t-Test per campioni accoppiati