Contrasto di ipotesi

Di Benjamin anderson Agosto 3, 2023 Statistiche 0 commenti

Questo articolo spiega cos’è il test di ipotesi in statistica. Imparerai quindi come eseguire un test di ipotesi, i diversi tipi di test di ipotesi e i possibili errori che si possono commettere durante lo svolgimento di un test di ipotesi.

Che cos’è il test delle ipotesi?

Un test di ipotesi è una procedura utilizzata per rifiutare o rifiutare un’ipotesi statistica. In un test di ipotesi giudichiamo se il valore di un parametro di una popolazione è compatibile con quanto osservato in un campione di detta popolazione.

Cioè, in un test di ipotesi, si analizza un campione statistico e, in base ai risultati ottenuti, si determina se rifiutare o accettare un’ipotesi precedentemente stabilita.

Tieni presente che in generale, dalla verifica delle ipotesi, non si può dedurre con assoluta certezza che un’ipotesi sia vera o falsa, ma che un’ipotesi venga semplicemente rifiutata o non in base ai risultati ottenuti. Pertanto, quando si verifica un’ipotesi, si può comunque commettere un errore anche se esiste evidenza statistica che la decisione presa sia la più probabile.

In statistica, un test di ipotesi è anche chiamato test di ipotesi , test di ipotesi o test di significatività .

La teoria della verifica delle ipotesi è stata stabilita dallo statistico inglese Ronald Fisher e ulteriormente sviluppata da Jerzy Neyman e Egon Pearson.

Ipotesi nulla e ipotesi alternativa

Un test di ipotesi è costituito da due tipi di ipotesi statistiche:

Ipotesi nulla (H ₀ ) : è l’ipotesi che sostiene che l’ipotesi iniziale che abbiamo riguardo ad un parametro della popolazione è falsa. L’ipotesi nulla è quindi l’ipotesi che vogliamo rifiutare.
Ipotesi alternativa (H ₁ ) : è l’ipotesi di ricerca la cui verità si suppone sia dimostrata. Cioè, l’ipotesi alternativa è un’ipotesi preventiva del ricercatore e per cercare di dimostrare che sia vera, verrà effettuata l’ipotesi di contrasto.

In pratica, l’ipotesi alternativa viene formulata prima dell’ipotesi nulla, poiché è l’ipotesi che si vuole corroborare dall’analisi statistica di un campione di dati. L’ipotesi nulla viene quindi formulata semplicemente contraddicendo l’ipotesi alternativa.

Tipi di test di ipotesi

I test di ipotesi possono essere classificati in due diverse tipologie:

Test di ipotesi a due code (o test di ipotesi a due code) : l’ipotesi alternativa del test di ipotesi afferma che il parametro della popolazione è “diverso” da un valore specifico.
Test di ipotesi a una coda (o test di ipotesi a una coda) : l’ipotesi alternativa del test di ipotesi indica che il parametro della popolazione è “maggiore di” (coda destra) o “minore di” (coda sinistra) un valore specifico.

Test di ipotesi a due code

$\begin{cases}H_0: \mu=\mu_0\\[2ex]H_1:\mu\neq\mu_0\end{cases}$

Test di ipotesi a una coda (coda destra)

$\begin{cases}H_0: \mu\leq \mu_0\\[2ex]H_1:\mu>\mu_0\end{cases}” title=”Rendered by QuickLaTeX.com” height=”65″ width=”102″ style=”vertical-align: 0px;”></p> </p> </div> <div class=$

Test di ipotesi a una coda (coda sinistra)

$\begin{cases}H_0: \mu\geq\mu_0\\[2ex]H_1:\mu<\mu_0\end{cases}$

Regione di rifiuto e regione di accettazione di un test di ipotesi

Come vedremo in dettaglio di seguito, il test di ipotesi consiste nel calcolare un valore caratteristico di ciascun tipo di test di ipotesi, questo valore è chiamato statistica del test di ipotesi. Quindi, una volta calcolata la statistica del contrasto, è necessario osservare in quale delle due regioni seguenti si trova per giungere ad una conclusione:

Regione di rifiuto (o regione critica) : questa è l’area del grafico della distribuzione di riferimento del test di ipotesi che comporta il rifiuto dell’ipotesi nulla (e l’accettazione dell’ipotesi alternativa).
Regione di accettazione : questa è l’area del grafico della distribuzione di riferimento del test di ipotesi che implica l’accettazione dell’ipotesi nulla (e il rifiuto dell’ipotesi alternativa).

In breve, se la statistica test rientra nella zona di rifiuto, l’ipotesi nulla viene rifiutata e viene accettata l’ipotesi alternativa. Al contrario, se la statistica test rientra nella regione di accettazione, l’ipotesi nulla viene accettata e l’ipotesi alternativa viene rifiutata.

I valori che stabiliscono i confini della regione di rifiuto e della regione di accettazione sono chiamati valori critici , analogamente, l’intervallo di valori che definisce la regione di rifiuto è chiamato intervallo di confidenza . Ed entrambi i valori dipendono dal livello di significatività scelto.

➤ Vedi: Livello di significatività alfa

D’altro canto, la decisione di rifiutare o accettare l’ipotesi nulla può essere presa anche confrontando il p-value (o p-value) ottenuto dal test di ipotesi con il livello di significatività scelto.

➤ Vedi: Qual è il valore p?

Come eseguire un test di ipotesi

Per eseguire un test di ipotesi, è necessario seguire i seguenti passaggi:

Enunciare l’ipotesi nulla e l’ipotesi alternativa del test di ipotesi.
Stabilire il livello di significatività alfa (α) desiderato.
Calcolare la statistica del contrasto delle ipotesi.
Determina i valori critici del test di ipotesi per conoscere la regione di rifiuto e la regione di accettazione del test di ipotesi.
Osservare se la statistica del contrasto delle ipotesi si trova nella regione di rifiuto o in quella di accettazione.
Se la statistica rientra nella regione di rifiuto, l’ipotesi nulla viene rifiutata (e l’ipotesi alternativa viene accettata). Ma se la statistica rientra nella zona di accettazione, l’ipotesi nulla viene accettata (e l’ipotesi alternativa viene rifiutata).

➤ Vedi: Verifica di ipotesi per la media
➤ Vedi: Verifica di ipotesi per la proporzione
➤ Vedi: Verifica di ipotesi per la varianza

Errori nel test di ipotesi

Nel test di ipotesi, quando si rifiuta un’ipotesi e si accetta l’altra ipotesi di test, si può commettere uno dei due errori:

Errore di tipo I : questo è l’errore commesso quando si rifiuta l’ipotesi nulla quando in realtà è vera.
Errore di tipo II : è l’errore commesso accettando l’ipotesi nulla quando in realtà è falsa.

D’altra parte, la probabilità di commettere ciascun tipo di errore è chiamata come segue:

Probabilità alfa (α) : è la probabilità di commettere l’errore di tipo I.
Probabilità beta (β) : è la probabilità di commettere l’errore di tipo II.

Allo stesso modo, il potere della verifica delle ipotesi è definito come la probabilità di rifiutare l’ipotesi nulla (H ₀ ) quando è falsa, o in altre parole, è la probabilità di scegliere l’ipotesi alternativa (H ₁ ) quando è vera. La potenza del test di ipotesi è quindi pari a 1-β.

Statistiche di verifica delle ipotesi

La statistica di un test di ipotesi è il valore della distribuzione di riferimento del test di ipotesi utilizzata per determinare se l’ipotesi nulla viene rifiutata o meno. Se la statistica test cade nella regione di rifiuto, l’ipotesi nulla viene rifiutata (e viene accettata l’ipotesi alternativa), invece, se la statistica test cade nella regione di accettazione, viene accettata l’ipotesi nulla (e l’ipotesi alternativa è accettata). respinta).ipotesi alternativa).

Il calcolo della statistica del test di ipotesi dipende dal tipo di test. Pertanto, di seguito è riportata la formula per il calcolo della statistica per ciascun tipo di verifica delle ipotesi.

Verifica di ipotesi per la media

La formula per la statistica del test di ipotesi per la media con varianza nota è:

$\displaystyle Z=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$

Oro:

$Z$

è l’ipotesi statistica di contrasto per la media.
$\overline{x}$

è la media del campione.
$\mu$

è il valore medio proposto.
$\sigma$

è la deviazione standard della popolazione.
$n$

è la dimensione del campione.

Una volta calcolata la statistica del test di ipotesi per la media, il risultato deve essere interpretato per rifiutare o meno l’ipotesi nulla:

Se il test di ipotesi per la media è bilaterale, l’ipotesi nulla viene rifiutata se il valore assoluto della statistica è maggiore del valore critico Z _α/2 .
Se il test di ipotesi per la media corrisponde alla coda destra, l’ipotesi nulla viene rifiutata se la statistica è maggiore del valore critico Z _α .
Se il test di ipotesi per la media corrisponde alla coda sinistra, l’ipotesi nulla viene rifiutata se la statistica è inferiore al valore critico -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

In questo caso i valori critici si ottengono dalla tabella della distribuzione normale standardizzata.

D’altra parte, la formula per la statistica del test di ipotesi per la media con varianza sconosciuta è:

$\displaystyle t=\frac{\overline{x}-\mu}{\displaystyle \frac{s}{\sqrt{n}}}$

Oro:

$t$

è la statistica del test di ipotesi per la media, che è definita dalla distribuzione t di Student.
$\overline{x}$

è la media del campione.
$\mu$

è il valore medio proposto.
$s$

è la deviazione standard del campione.
$n$

è la dimensione del campione.

Come prima, il risultato calcolato della statistica test deve essere interpretato con il valore critico per rifiutare o meno l’ipotesi nulla:

Se il test di ipotesi per la media è bilaterale, l’ipotesi nulla viene rifiutata se il valore assoluto della statistica è maggiore del valore critico t _α/2|n-1 .
Se il test di ipotesi per la media corrisponde alla coda destra, l’ipotesi nulla viene rifiutata se la statistica è maggiore del valore critico t _α|n-1 .
Se il test di ipotesi per la media corrisponde alla coda sinistra, l’ipotesi nulla viene rifiutata se la statistica è inferiore al valore critico -t _α|n-1 .

$\begin{array}{l}H_1: \mu\neq \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |t|>t_{\alpha/2|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu> \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t>t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \mu< \mu_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } t<-t_{\alpha|n-1} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Quando la varianza è sconosciuta, i valori critici del test si ottengono dalla tabella di distribuzione di Student.

Verifica di ipotesi per la proporzione

La formula per la statistica del test di ipotesi per la proporzione è:

$\displaystyle Z=\frac{\widehat{p}-p}{\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}}$

Oro:

$Z$

è la statistica del test di ipotesi per la proporzione.
$\widehat{p}$

è la proporzione campionaria.
$p$

è il valore proporzionale proposto.
$n$

è la dimensione del campione.
$\displaystyle\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$

è la deviazione standard della proporzione.

Tieni presente che non è sufficiente calcolare la statistica del test di ipotesi per la proporzione, ma il risultato deve poi essere interpretato:

Se il test di ipotesi per la proporzione è bilaterale, l’ipotesi nulla viene rifiutata se il valore assoluto della statistica è maggiore del valore critico Z _α/2 .
Se il test di ipotesi per la proporzione corrisponde alla coda destra, l’ipotesi nulla viene rifiutata se la statistica è maggiore del valore critico Z _α .
Se il test di ipotesi per la proporzione corrisponde alla coda sinistra, l’ipotesi nulla viene rifiutata se la statistica è inferiore al valore critico -Z _α .

$\begin{array}{l}H_1: p\neq p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } |Z|>Z_{\alpha/2} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p> p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z>Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: p< p_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } Z<-Z_{\alpha} \text{ se rechaza } H_0\end{array}$

Ricorda che i valori critici possono essere facilmente ottenuti dalla tabella della distribuzione normale standard.

Verifica di ipotesi per la varianza

La formula per calcolare la statistica del test di ipotesi per la varianza è:

$\chi^2=\cfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$

Oro:

$\chi^2$

è l’ipotesi che verifica la statistica della varianza, che ha una distribuzione chi-quadrato.
$n$

è la dimensione del campione.
$s^2$

è la varianza campionaria.
$\sigma^2$

è la varianza della popolazione proposta.

Per interpretare il risultato della statistica, il valore ottenuto deve essere confrontato con il valore critico del test.

Se il test di ipotesi per la varianza è a due code, l’ipotesi nulla viene rifiutata se la statistica è maggiore del valore critico.
$\chi_{1-\alpha/2|n-1}^2$

o se il valore critico è inferiore a

$\chi_{\alpha/2|n-1}$

.
Se il test di ipotesi per la varianza corrisponde alla coda destra, l’ipotesi nulla viene rifiutata se la statistica è maggiore del valore critico
$\chi_{1-\alpha|n-1}^2$

.
Se il test di ipotesi per la varianza corrisponde alla coda sinistra, l’ipotesi nulla viene rifiutata se la statistica è inferiore al valore critico
$\chi_{\alpha|n-1}$

.

$\begin{array}{l}H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2\neq \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si }\chi^2<\chi^2_{\alpha/2|n-1}\text{ se rechaza } H_0 \\[3ex]H_1: \sigma^2> \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2>\chi^2_{1-\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\\[3ex]H_1: \sigma^2< \sigma_0 \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ \text{Si } \chi^2<\chi^2_{\alpha|n-1}\text{ se rechaza } H_0\end{array}$

I valori del test dell’ipotesi critica per la varianza sono ottenuti dalla tabella di distribuzione del chi-quadrato. Si noti che i gradi di libertà per la distribuzione Chi-quadrato sono la dimensione del campione meno 1.

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Benjamin anderson

Ciao, sono Benjamin, un professore di statistica in pensione diventato insegnante dedicato di Statorials. Con una vasta esperienza e competenza nel campo della statistica, sono ansioso di condividere le mie conoscenze per potenziare gli studenti attraverso Statorials. Scopri di più

Che cos’è il test delle ipotesi?

Ipotesi nulla e ipotesi alternativa

Tipi di test di ipotesi

Regione di rifiuto e regione di accettazione di un test di ipotesi

Come eseguire un test di ipotesi

Errori nel test di ipotesi

Statistiche di verifica delle ipotesi

Verifica di ipotesi per la media

Verifica di ipotesi per la proporzione

Verifica di ipotesi per la varianza

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