Intervallo di confidenza per una deviazione standard

Un intervallo di confidenza per una deviazione standard è un intervallo di valori che probabilmente contiene una deviazione standard della popolazione con un certo livello di confidenza.

Questo tutorial spiega quanto segue:

• La motivazione per creare questo intervallo di confidenza.
• La formula per creare questo intervallo di confidenza.
• Un esempio di come calcolare questo intervallo di confidenza.
• Come interpretare questo intervallo di confidenza.

Intervallo di confidenza per una deviazione standard: motivazione

Il motivo per cui creiamo un intervallo di confidenza per una deviazione standard è che vogliamo catturare la nostra incertezza quando stimiamo una deviazione standard della popolazione.

Ad esempio, supponiamo di voler stimare la deviazione standard del peso di una determinata specie di tartaruga della Florida. Dato che ci sono migliaia di tartarughe in Florida, sarebbe estremamente dispendioso in termini di tempo e denaro andare in giro e pesare ciascuna tartaruga individualmente.

Invece, potremmo prendere un semplice campione casuale di 50 tartarughe e utilizzare la deviazione standard del peso delle tartarughe in quel campione per stimare la vera deviazione standard della popolazione:

Il problema è che non è garantito che la deviazione standard del campione corrisponda esattamente alla deviazione standard dell’intera popolazione. Quindi, per catturare questa incertezza, possiamo creare un intervallo di confidenza contenente un intervallo di valori che probabilmente conterranno la vera deviazione standard della popolazione.

Intervallo di confidenza per una deviazione standard: formula

Usiamo la seguente formula per calcolare un intervallo di confidenza per una media:

Intervallo di confidenza = [√(n-1)s ² /X ² _α/2 , √(n-1)s ² /X ² _1-α/2 ]

Oro:

• n: dimensione del campione
• s: deviazione standard campionaria
• X ² : Valore critico del Chi quadrato con n-1 gradi di libertà.

Intervallo di confidenza per una deviazione standard: esempio

Supponiamo di raccogliere un campione casuale di tartarughe con le seguenti informazioni:

• Dimensione del campione n = 27
• Deviazione standard del campione s = 6,43

Ecco come trovare diversi intervalli di confidenza per la deviazione standard della popolazione reale:

Intervallo di confidenza al 90%: [ √ (27-1)*6,43 ² /38,885, √ (27-1)*6,43 ^{2 /} 15,379) = [5,258, 8,361]

Intervallo di confidenza al 95%: [ √ (27-1)*6,43 ² /41,923, √ (27-1)*6,43 ^{2 /} 13,844) = [5,064, 8,812]

Intervallo di confidenza al 99%: [ √ (27-1)*6,43 ² /48,289, √ (27-1)*6,43 ^{2 /} 11,160) = [4,718, 9,814]

Nota: è possibile trovare questi intervalli di confidenza anche utilizzando il calcolatore dell’intervallo di confidenza per la deviazione standard .

Intervallo di confidenza per una deviazione standard: interpretazione

Il modo in cui interpreteremmo un intervallo di confidenza è:

Esiste una probabilità del 95% che l’intervallo di confidenza di [5.064, 8.812] contenga la vera deviazione standard della popolazione.

Un altro modo per dire la stessa cosa è che c’è solo una probabilità del 5% che la vera deviazione standard della popolazione si trovi al di fuori dell’intervallo di confidenza del 95%. Cioè, c’è solo una probabilità del 5% che la deviazione standard della popolazione reale sia maggiore di 8.812 o minore di 5.064.