La relazione tra dimensione del campione e margine di errore

Spesso nelle statistiche si vuole stimare il valore di alcuni parametri della popolazione , come la proporzione o la media della popolazione .

Per stimare questi valori, solitamente raccogliamo un campione casuale semplice e calcoliamo la proporzione campionaria o la media campionaria.

Costruiamo quindi un intervallo di confidenza per catturare la nostra incertezza attorno a queste stime.

Usiamo la seguente formula per calcolare un intervallo di confidenza per una proporzione della popolazione:

Intervallo di confidenza = p ± z*√ p(1-p) / n

Oro:

• p: proporzione del campione
• z: il valore z scelto
• n: dimensione del campione

E usiamo la seguente formula per calcolare un intervallo di confidenza per la media della popolazione:

Intervallo di confidenza = x̄ ± z*(s/√ n )

Oro:

• x̄: media campionaria
• z: il valore z scelto
• s : deviazione standard campionaria
• n: dimensione del campione

In entrambe le formule esiste una relazione inversa tra dimensione del campione e margine di errore.

Maggiore è la dimensione del campione, minore è il margine di errore. Al contrario, minore è la dimensione del campione, maggiore è il margine di errore.

Dai un’occhiata ai due esempi seguenti per capirlo meglio.

Esempio 1: dimensione del campione e margine di errore per una proporzione della popolazione

Usiamo la seguente formula per calcolare un intervallo di confidenza per una proporzione della popolazione:

Intervallo di confidenza = p ± z*√ p(1-p) / n

La parte in rosso è chiamata margine di errore :

Intervallo di confidenza = p ± z*√ p(1-p) / n

Si noti che entro il margine di errore dividiamo per n (la dimensione del campione).

Pertanto, quando la dimensione del campione è ampia, dividiamo per un numero elevato, riducendo così il margine di errore totale. Ciò porta ad un intervallo di confidenza più ristretto.

Ad esempio, supponiamo di raccogliere un semplice campione casuale di dati con le seguenti informazioni:

• p: 0,6
• N: 25

Ecco come calcolare un intervallo di confidenza al 95% per la proporzione della popolazione:

• Intervallo di confidenza = p ± z*√ p(1-p) / n
• Intervallo di confidenza = 0,6 ± 1,96*√ 0,6(1-0,6) / 25
• Intervallo di confidenza = 0,6 ± 0,192
• Intervallo di confidenza = [.408, .792]

Consideriamo ora se utilizzassimo invece una dimensione del campione pari a 200. Ecco come calcoleremo l’intervallo di confidenza del 95% per la proporzione della popolazione:

• Intervallo di confidenza = p ± z*√ p(1-p) / n
• Intervallo di confidenza = 0,6 ± 1,96*√ 0,6(1-0,6) / 200
• Intervallo di confidenza = 0,6 ± 0,068
• Intervallo di confidenza = [.532, .668]

Si noti che semplicemente aumentando la dimensione del campione, siamo stati in grado di ridurre il margine di errore e produrre un intervallo di confidenza molto più ristretto.

Esempio 2: dimensione del campione e margine di errore per la media della popolazione

Utilizziamo la seguente formula per calcolare un intervallo di confidenza per la media della popolazione:

Intervallo di confidenza = x̄ ± z*(s/√ n )

La parte in rosso è chiamata margine di errore :

Intervallo di confidenza = x̄ ± z*(s/√ n )

Si noti che entro il margine di errore dividiamo per n (la dimensione del campione).

Pertanto, quando la dimensione del campione è ampia, dividiamo per un numero elevato, riducendo così il margine di errore totale. Ciò porta ad un intervallo di confidenza più ristretto.

Ad esempio, supponiamo di raccogliere un semplice campione casuale di dati con le seguenti informazioni:

• x̄: 15
• s : 4
• N: 25

Ecco come calcolare un intervallo di confidenza al 95% per la media della popolazione:

• Intervallo di confidenza = x̄ ± z*(s/√ n )
• Intervallo di confidenza = 15 ± 1,96*(4/√ 25 )
• Intervallo di confidenza = 15 ± 1,568
• Intervallo di confidenza = [13.432, 16.568]

Consideriamo ora se utilizzassimo invece una dimensione del campione pari a 200. Ecco come calcoleremo l’intervallo di confidenza del 95% per la media della popolazione:

• Intervallo di confidenza = x̄ ± z*(s/√ n )
• Intervallo di confidenza = 15 ± 1,96*(4/√ 200 )
• Intervallo di confidenza = 15 ± 0,554
• Intervallo di confidenza = [14.446, 15.554]

Si noti che semplicemente aumentando la dimensione del campione, siamo stati in grado di ridurre il margine di errore e produrre un intervallo di confidenza più ristretto.

Risorse addizionali

Le seguenti esercitazioni forniscono informazioni aggiuntive sugli intervalli di confidenza per una proporzione:

• Introduzione agli intervalli di confidenza per una proporzione
• Intervallo di confidenza per il calcolatore delle proporzioni

Le seguenti esercitazioni forniscono informazioni aggiuntive sugli intervalli di confidenza per una media:

• Un’introduzione agli intervalli di confidenza per una media
• Intervallo di confidenza per il calcolatore della media