Una guida completa: il disegno fattoriale 2×2

Un disegno fattoriale 2 × 2 è un tipo di disegno sperimentale che consente ai ricercatori di comprendere gli effetti di due variabili indipendenti (ciascuna con due livelli ) su una singola variabile dipendente.

Ad esempio, supponiamo che un botanico voglia comprendere gli effetti della luce solare (bassa o alta) e della frequenza di irrigazione (giornaliera o settimanale) sulla crescita di una determinata specie di piante.

Questo è un esempio di disegno fattoriale 2×2 perché sono presenti due variabili indipendenti, ciascuna con due livelli:

• Variabile indipendente n. 1: luce solare
  • Livelli: basso, alto
• Variabile indipendente n. 2: frequenza di irrigazione
  • Livelli: giornaliero, settimanale

E c’è una variabile dipendente: la crescita delle piante.

Lo scopo di un disegno fattoriale 2 × 2

Un disegno fattoriale 2×2 consente di analizzare i seguenti effetti:

Effetti principali: sono gli effetti che una singola variabile indipendente ha sulla variabile dipendente.

Ad esempio, nel nostro scenario precedente, potremmo analizzare i seguenti effetti principali:

• Principale effetto della luce solare sulla crescita delle piante.
  • Possiamo trovare la crescita media di tutte le piante che hanno ricevuto poca luce solare.
  • Possiamo trovare la crescita media di tutte le piante che hanno ricevuto un’elevata luce solare.
• Effetto principale della frequenza di irrigazione sulla crescita delle piante.
  • Possiamo trovare la crescita media di tutte le piante annaffiate quotidianamente.
  • Possiamo trovare la crescita media di tutte le piante annaffiate ogni settimana.

Effetti di interazione: si verificano quando l’effetto di una variabile indipendente sulla variabile dipendente dipende dal livello dell’altra variabile indipendente.

Ad esempio, nel nostro scenario precedente, potremmo analizzare i seguenti effetti di interazione:

• L’effetto della luce solare sulla crescita delle piante dipende dalla frequenza dell’irrigazione?
• L’effetto della frequenza dell’irrigazione sulla crescita delle piante dipende dalla luce solare?

Visualizza gli effetti principali e gli effetti di interazione

Quando utilizziamo un disegno fattoriale 2 × 2, spesso rappresentiamo graficamente le medie per comprendere meglio gli effetti che le variabili indipendenti hanno sulla variabile dipendente.

Consideriamo ad esempio il seguente grafico:

Ecco come interpretare i valori nel grafico:

• La crescita media delle piante che hanno ricevuto luce solare intensa e irrigazione giornaliera è stata di circa 8,2 pollici.
• La crescita media delle piante che hanno ricevuto molta luce solare e annaffiature settimanali è stata di circa 9,6 pollici.
• La crescita media delle piante che hanno ricevuto sole basso e irrigazione giornaliera è stata di circa 5,3 pollici.
• La crescita media delle piante che hanno ricevuto sole basso e irrigazione settimanale è stata di circa 5,8 pollici.

Per determinare se esiste un effetto di interazione tra le due variabili indipendenti è sufficiente verificare se le rette sono parallele oppure no:

• Se le due linee della trama sono parallele non vi è alcun effetto di interazione.
• Se le due linee della trama non sono parallele si verifica un effetto di interazione.

Nel grafico precedente le due linee erano più o meno parallele, quindi probabilmente non vi è alcun effetto di interazione tra la frequenza di irrigazione e l’esposizione al sole.

Tuttavia, considera la seguente trama:

Le due linee non sono affatto parallele (anzi, si intersecano!), il che indica che probabilmente esiste un effetto di interazione tra loro.

Ciò significa, ad esempio, che l’effetto della luce solare sulla crescita delle piante dipende dalla frequenza dell’irrigazione.

In altre parole, la luce solare e la frequenza dell’irrigazione non influiscono in modo indipendente sulla crescita delle piante. Piuttosto, esiste un effetto di interazione tra le due variabili indipendenti.

Come analizzare un disegno fattoriale 2×2

Tracciare le medie è un modo visivo per verificare gli effetti che le variabili indipendenti hanno sulla variabile dipendente.

Tuttavia, possiamo anche eseguire un’ANOVA bidirezionale per verificare formalmente se le variabili indipendenti hanno o meno una relazione statisticamente significativa con la variabile dipendente.

Ad esempio, il codice seguente mostra come eseguire un’ANOVA bidirezionale per il nostro ipotetico scenario di fabbrica in R:

 #make this example reproducible
set. seeds (0)

df <- data. frame (sunlight = rep(c(' Low ', ' High '), each = 30 ),
                 water = rep(c(' Daily ', ' Weekly '), each = 15 , times = 2 ),
                 growth = c(rnorm(15, 6, 2), rnorm(15, 7, 3), rnorm(15, 7, 2),
                                   rnorm(15, 10, 3)))

#fit the two-way ANOVA model
model <- aov(growth ~ sunlight * water, data = df)

#view the model output
summary(model)

               Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)   
sunlight 1 52.5 52.48 8.440 0.00525 **
water 1 31.6 31.59 5.081 0.02813 * 
sunlight:water 1 12.8 12.85 2.066 0.15620   
Residuals 56 348.2 6.22                   
---
Significant. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Ecco come interpretare il risultato ANOVA:

• Il valore p associato alla luce solare è 0,005 . Poiché questo numero è inferiore a 0,05, significa che l’esposizione alla luce solare ha un effetto statisticamente significativo sulla crescita delle piante.
• Il valore p associato all’acqua è 0,028 . Poiché questo valore è inferiore a 0,05, significa che anche la frequenza di irrigazione ha un effetto statisticamente significativo sulla crescita delle piante.
• Il valore p per l’interazione tra luce solare e acqua è 0,156 . Poiché questo valore non è inferiore a 0,05, significa che non vi è alcun effetto di interazione tra la luce solare e l’acqua.

Risorse addizionali

Una guida completa: il disegno fattoriale 2×3
Cosa sono i livelli di una variabile indipendente?
Variabili indipendenti o dipendenti
Che cos’è un’ANOVA fattoriale?