Eventi disgiunti o indipendenti: qual è la differenza?

Due termini che gli studenti spesso confondono sono disgiunti e indipendenti .

Ecco la differenza in poche parole:

Due eventi si dicono disgiunti se non possono verificarsi contemporaneamente.

Due eventi si dicono indipendenti se il verificarsi di un evento non ha alcun effetto sulla probabilità che si verifichi l’altro evento.

Gli esempi seguenti illustrano la differenza tra questi due termini in vari scenari.

Esempio 1: lancia una moneta

Scenario 1: Supponiamo di lanciare una moneta una volta. Se definiamo l’evento A come la moneta che esce testa e definiamo l’evento B come la moneta che esce testa, allora l’evento A e l’evento B sono disgiunti perché la moneta non può atterrare su testa e su una superficie.

Scenario 2 : Supponiamo di lanciare una moneta due volte. Se definiamo l’evento A come la moneta che esce testa al primo lancio e definiamo l’evento B come la moneta che esce testa al secondo lancio, allora l’evento A e l’evento B sono indipendenti perché il risultato di Un’estrazione non influenza il risultato dell’altro.

Esempio 2: lancia un dado

Scenario 1: Supponiamo di lanciare un dado una volta. Se lasciamo che l’evento A sia l’evento in cui il dado esce su un numero pari e l’evento B l’evento in cui il dado esce su un numero dispari, allora l’evento A e l’evento B sono disgiunti perché i dadi non possono esaurire un numero pari e uno dispari numero contemporaneamente.

Scenario 2 : Supponiamo di lanciare un dado due volte. Se definiamo l’evento A come il dado che cade sul “5” al primo lancio e definiamo l’evento B come il dado che cade sul “5” al secondo lancio, allora l’evento A e l’evento B sono indipendenti perché il risultato di uno il lancio dei dadi non influenza il risultato dell’altro.

Esempio 3: Selezione di una carta

Scenario 1: Supponiamo di selezionare una carta da un mazzo standard di 52 carte. Se lasciamo che l’evento A sia l’evento in cui la carta è un picche e lasciamo che l’evento B sia l’evento in cui la carta è un quadri, allora l’evento A e l’evento B sono disgiunti perché la carta non può essere un picche e un quadri. allo stesso tempo.

Scenario 2 : Supponiamo di selezionare una carta da un mazzo standard da 52 carte due volte di seguito con sostituzione. Se definiamo l’evento A come la carta di picche alla prima estrazione e definiamo l’evento B come la carta di picche alla seconda estrazione, allora l’evento A e l’evento B sono indipendenti perché il risultato di un’estrazione non influenza il risultato dell’altro.

Notazione delle probabilità: eventi disgiunti o eventi indipendenti

Scritti in notazione probabilistica, diciamo che gli eventi A e B sono disgiunti se la loro intersezione è zero. Questo può essere scritto come segue:

• P(A∩B) = 0

Ad esempio, supponiamo di lanciare un dado una volta. Sia l’evento A l’evento in cui il dado esce su un numero pari e l’evento B l’evento in cui il dado esce su un numero dispari.

Definiremo lo spazio campionario per gli eventi come segue:

• A = {2, 4, 6}
• B = {1, 3, 5}

Si noti che non vi è alcuna sovrapposizione tra i due spazi campionati. Pertanto gli eventi A e B sono eventi disgiunti perché non possono verificarsi entrambi contemporaneamente.

Quindi, potremmo scrivere:

• P(A∩B) = 0

Allo stesso modo, scritti in notazione probabilistica, diciamo che gli eventi A e B sono indipendenti se è vero quanto segue:

• P(A∩B) = P(A) * P(B)

Ad esempio, supponiamo di lanciare un dado due volte. Sia l’evento A l’evento in cui il dado si ferma su un “5” al primo lancio e l’evento B sia l’evento in cui il dado si ferma su un “5” al secondo lancio.

Se annotassimo tutti i 36 modi possibili in cui i dadi atterrano, scopriremmo che solo in 1 dei 36 scenari il dado è atterrato su un “5” entrambe le volte. Quindi, diremmo P(A∩B) = 1/36.

Sappiamo anche che la probabilità che il dado cada su “5” al primo lancio è P(A) = 1/6.

Sappiamo anche che la probabilità che il dado cada su “5” al secondo lancio è P(B) = 1/6.

Quindi, potremmo scrivere:

• P(A∩B) = P(A) * P(B)
• 1/36 = 1/6 * 1/6
• 1/36 = 1/36

Poiché questa equazione è vera, potremmo effettivamente dire che in questo scenario l’evento A e l’evento B sono indipendenti .

Risorse addizionali

I seguenti tutorial forniscono informazioni aggiuntive su vari termini statistici:

Cosa sono gli eventi disgiunti? (Definizione ed esempi)
Eventi reciprocamente inclusivi o reciprocamente esclusivi