Distribuzione esponenziale

Questo articolo spiega cos’è la distribuzione esponenziale nelle statistiche e a cosa serve. Allo stesso modo, troverai quali sono le proprietà della distribuzione esponenziale, le sue formule, il suo grafico e un esercizio risolto. Inoltre, sarai in grado di calcolare qualsiasi probabilità con un calcolatore di distribuzione esponenziale online.

Cos’è la distribuzione esponenziale?

La distribuzione esponenziale è una distribuzione di probabilità continua utilizzata per modellare il tempo di attesa per il verificarsi di un fenomeno casuale.

Più precisamente, la distribuzione esponenziale permette di descrivere il tempo di attesa tra due eventi che segue una distribuzione di Poisson. Pertanto, la distribuzione esponenziale è strettamente correlata alla distribuzione di Poisson.

La distribuzione esponenziale ha un parametro caratteristico, rappresentato dalla lettera greca λ e indica il numero di volte in cui si prevede che l’evento studiato si verifichi in un dato periodo di tempo.

Allo stesso modo, la distribuzione esponenziale viene utilizzata anche per modellare il tempo fino al verificarsi di un guasto. La distribuzione esponenziale ha quindi diverse applicazioni nella teoria dell’affidabilità e della sopravvivenza.

Esempi di distribuzioni esponenziali

Ora che conosciamo la definizione di distribuzione esponenziale, esaminiamo alcuni esempi di questo tipo di distribuzione per comprendere meglio il concetto.

Esempi di distribuzione esponenziale:

1. Il tempo trascorso tra due chiamate in un call center.
2. Il tempo che una persona deve attendere affinché un taxi gratuito passi su una strada specifica.
3. Il tempo di attesa prima che un nuovo cliente entri in un negozio.
4. Il tempo che trascorre tra due diversi utenti che accedono a una pagina web.
5. Tempo trascorso in un aeroporto tra il decollo di un aereo e la partenza di un altro.

Formula di distribuzione esponenziale

La formula della funzione di densità che definisce il calcolo di una probabilità di distribuzione esponenziale è uguale a λ moltiplicato per il numero e elevato alla potenza di λ negativo per x.

In altre parole, la formula per calcolare una probabilità di distribuzione esponenziale è la seguente:

👉 Puoi utilizzare la calcolatrice qui sotto per calcolare la probabilità di una variabile che segue la distribuzione esponenziale.

D’altra parte, la formula per calcolare una probabilità cumulativa della distribuzione esponenziale è la seguente:

Grafico della distribuzione esponenziale

In questa sezione puoi vedere la rappresentazione grafica della funzione di densità e della funzione di distribuzione della distribuzione esponenziale.

Di seguito puoi vedere come varia il grafico della funzione di densità della distribuzione esponenziale a seconda del valore del parametro λ.

Allo stesso modo, la funzione di probabilità cumulativa della distribuzione esponenziale dipende anche dal valore del parametro λ, come puoi vedere nel grafico seguente:

Esercizio risolto sulla distribuzione esponenziale

• In media, λ=1 utenti/min accedono ad una specifica pagina web. Qual è la probabilità che il tempo tra l’ingresso di due utenti sia di 3 minuti? E la probabilità che sia uguale o inferiore a 2 minuti?

La distribuzione che definisce la variabile casuale di questo problema è una distribuzione esponenziale, poiché studiamo il tempo che passa dal momento in cui si verifica un evento (l’ingresso di un utente sulla pagina web) fino a quando lo stesso evento si ripete.

Pertanto, per calcolare la probabilità che il tempo trascorso tra l’ingresso di due utenti diversi sia di tre minuti, dobbiamo applicare la formula della funzione di densità (vedi sopra):

D’altra parte, per determinare una probabilità cumulativa, dobbiamo utilizzare la formula della funzione di distribuzione della distribuzione esponenziale:

Caratteristiche della distribuzione esponenziale

La distribuzione esponenziale ha le seguenti caratteristiche:

• La distribuzione esponenziale ha un parametro caratteristico, λ, che indica il numero di volte in cui si prevede che il fenomeno studiato si verifichi in un dato periodo di tempo.

• La distribuzione esponenziale non può assumere un valore negativo, quindi il dominio della distribuzione esponenziale è costituito da tutti i numeri reali maggiori o uguali a zero.

• La media della distribuzione esponenziale è pari a uno diviso per il parametro caratteristico λ.

• La varianza della distribuzione esponenziale è il quadrato della sua media, quindi la varianza della distribuzione esponenziale è equivalente a uno sul coefficiente λ al quadrato.

• Qualunque sia il valore di λ, il coefficiente di asimmetria della distribuzione esponenziale è sempre pari a 2.

• Allo stesso modo, il coefficiente di curtosi di qualsiasi distribuzione esponenziale è sempre equivalente a 9.

• La formula per la funzione di densità della distribuzione esponenziale è:

• Mentre la formula per la funzione di probabilità cumulativa della distribuzione esponenziale è la seguente:

• La distribuzione esponenziale è una delle poche distribuzioni di probabilità con la proprietà di memoria insufficiente. Questa proprietà fa sì che il verificarsi di un evento precedente non influenzi la probabilità che quell’evento si verifichi in futuro. Ad esempio, in una distribuzione esponenziale, la probabilità che un nuovo utente acceda a una pagina Web in meno di un minuto non dipende dal fatto che un utente sia appena entrato o che nessun utente sia entrato da allora. più di dieci minuti.

Calcolatore della distribuzione esponenziale

Inserisci il valore del parametro λ e il valore di x nella seguente calcolatrice per calcolare la probabilità. Devi selezionare la probabilità che vuoi calcolare e inserire i numeri utilizzando il punto come separatore decimale, ad esempio 0,50.