Distribuzione geometrica

Di Benjamin anderson Agosto 3, 2023 Probabilità 0 commenti

Questo articolo spiega cos’è la distribuzione geometrica nelle statistiche. Troverai quindi la definizione di distribuzione geometrica, esempi di distribuzioni geometriche e le proprietà di questo tipo di distribuzione di probabilità. Inoltre, puoi calcolare qualsiasi probabilità di una distribuzione geometrica con un calcolatore online.

Cos’è la distribuzione geometrica?

La distribuzione geometrica è una distribuzione di probabilità che definisce il numero di prove Bernoulliane necessarie per ottenere il primo risultato positivo.

Cioè, una distribuzione geometrica modella processi in cui gli esperimenti di Bernoulli vengono ripetuti finché uno di essi non ottiene un risultato positivo.

Ricorda che un test di Bernoulli è un esperimento che ha due possibili esiti: “successo” e “fallimento”. Quindi se la probabilità di “successo” è p , la probabilità di “fallimento” è q=1-p .

La distribuzione geometrica dipende quindi dal parametro p , che è la probabilità di successo di tutti gli esperimenti effettuati. Inoltre, la probabilità p è la stessa per tutti gli esperimenti.

$X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

Allo stesso modo, la distribuzione geometrica può anche essere definita come il numero di fallimenti prima del primo successo. In questo caso la distribuzione può assumere il valore x=0 e la sua formula varia leggermente. Ma il più comune è tornare alla definizione di distribuzione geometrica spiegata all’inizio di questa sezione.

Esempi di distribuzione geometrica

Una volta vista la definizione di distribuzione geometrica, in questa sezione vengono mostrati alcuni esempi di variabili casuali che seguono questo tipo di distribuzione.

Esempi di distribuzione geometrica:

Il numero di lanci di moneta effettuati fino a quando non si ottiene testa.
Il numero di auto che passano su una strada finché non vedono un’auto rossa.
Il numero di volte in cui una persona deve sostenere l’esame di guida prima di superarlo.
Il numero di lanci di dado effettuati finché non viene lanciato il numero 6.
Il numero di tiri liberi che devono essere effettuati prima che venga segnato un goal.

Formula di distribuzione geometrica

In una distribuzione geometrica, la probabilità di dover effettuare x prove per ottenere un risultato positivo è il prodotto del parametro p per (1-p) elevato a x-1 .

Pertanto, la formula per calcolare una probabilità della distribuzione geometrica è:

👉 Puoi utilizzare la calcolatrice qui sotto per calcolare la probabilità di una variabile che segue la distribuzione geometrica.

D’altra parte, la formula della funzione di distribuzione che permette di calcolare una probabilità cumulativa della distribuzione geometrica è la seguente:

$P[X\leq x]=1-(1-p)^x$

Esercizio sulla distribuzione geometrica risolto

Qual è la probabilità di ottenere il numero 5 al terzo lancio del dado?

La distribuzione di probabilità di questo problema è una distribuzione geometrica, poiché definisce il numero di lanci necessari (tre) per ottenere un risultato positivo (il numero 5).

Dobbiamo quindi prima calcolare la probabilità di successo di ogni lancio. In questo caso, c’è solo un risultato positivo su sei possibili risultati, quindi la probabilità p è:

$p=\cfrac{1}{6}=0,1667$

E poi applichiamo la formula della distribuzione geometrica per determinare la probabilità che l’esercizio ci chiede:

$\begin{aligned}\displaystyle P[X=x]&=(1-p)^{x-1}\cdot p\\[2ex]\displaystyle P[X=3]&=\left(1-\frac{1}{6}\right)^{3-1}\cdot \frac{1}{6}\\[2ex]\displaystyle P[X=3]&=0,1157\end{aligned}$

Caratteristiche della distribuzione geometrica

La distribuzione geometrica soddisfa le seguenti caratteristiche:

La distribuzione geometrica ha un parametro caratteristico, p , che rappresenta la probabilità di successo di ciascuno degli esperimenti effettuati.

 *** QuickLaTeX cannot compile formula:
\begin{array}{c} of each experiment carried out.</li></ul>[latex]E[X]=\cfrac{1}{p}

*** Error message:
Missing $ inserted.
leading text: \begin{array}{c}
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...0 <ul><li> The mean of the general distribution
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...><li> The mean of the geometric distribution
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...ne of the geometric distribution is
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...the geometric distribution is equal to
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...geometric tion is equal to one divided
Please use \mathaccent for accents in math mode.
leading text: ...st equals one divided by probability
Please use \mathaccent for accents in math mode.

La varianza della distribuzione geometrica è equivalente alla differenza di 1 meno p sul quadrato di p .

$Var(X)=\cfrac{1-p}{p^2}$

La formula per la funzione massa della distribuzione geometrica è:

$P[X=x]=(1-p)^{x-1}\cdot p$

Allo stesso modo, la formula per la funzione di probabilità cumulativa della distribuzione geometrica è:

$P[X\leq x]=1-(1-p)^x$

La distribuzione geometrica è un caso speciale della distribuzione binomiale negativa. Più precisamente, ciò equivale ad una distribuzione binomiale negativa con parametro r=1 .

$X\sim \text{BN}(1,p) \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ X\sim\text{Geom\'etrica}(p)$

➤ Vedi: Distribuzione binomiale negativa
➤ Vedi: Distribuzione binomiale

Calcolatore della distribuzione geometrica

Inserisci il valore del parametro p e il valore di x nella seguente calcolatrice per calcolare la probabilità. Devi selezionare la probabilità che vuoi calcolare e inserire i numeri utilizzando il punto come separatore decimale, ad esempio 0,1667.

Informazioni sull'autore

Benjamin anderson

Ciao, sono Benjamin, un professore di statistica in pensione diventato insegnante dedicato di Statorials. Con una vasta esperienza e competenza nel campo della statistica, sono ansioso di condividere le mie conoscenze per potenziare gli studenti attraverso Statorials. Scopri di più