Un'introduzione alla distribuzione ipergeometrica

La distribuzione ipergeometrica descrive la probabilità di scegliere k oggetti con una certa caratteristica in n estrazioni senza reinserimento, da una popolazione finita di dimensione N contenente K oggetti con questa caratteristica.

Se una variabile casuale X segue una distribuzione ipergeometrica, allora la probabilità di scegliere k oggetti con una certa caratteristica può essere trovata dalla seguente formula:

P(X=k) = _K C _k ( _NK C _nk ) / _N C _n

Oro:

• N: dimensione della popolazione
• K: numero di oggetti nella popolazione con una certa caratteristica
• n: dimensione del campione
• k: numero di oggetti nel campione con una determinata funzionalità
• _K C _k : numero di combinazioni di K cose prese k alla volta

Ad esempio, ci sono 4 Regine in un mazzo standard da 52 carte. Supponiamo di scegliere a caso una carta da un mazzo e poi, senza reinserimento, scegliere a caso un’altra carta dal mazzo. Qual è la probabilità che entrambe le carte siano regine?

Per rispondere a questa domanda possiamo utilizzare la distribuzione ipergeometrica con i seguenti parametri:

• N: dimensione della popolazione = 52 carte
• K: numero di oggetti nella popolazione con una certa caratteristica = 4 regine
• n: dimensione del campione = 2 estrazioni
• k: numero di oggetti nel campione con una certa caratteristica = 2 regine

Inserendo questi numeri nella formula, troviamo che la probabilità è:

P(X=2) = _K C _k ( _NK C _nk ) / _N C _n = ₄ C ₂ ( _52-4 C _2-2 ) / ₅₂ C ₂ = 6*1/ 1326 = 0.00452 .

Questo dovrebbe avere senso intuitivamente. Se immagini di pescare due carte da un mazzo, una dopo l’altra, la probabilità che entrambe le carte siano Regine dovrebbe essere molto bassa.

Proprietà della distribuzione ipergeometrica

La distribuzione ipergeometrica ha le seguenti proprietà:

La media della distribuzione è (nK) / N

La varianza della distribuzione è (nK)(NK)(Nn) / (N ² (n-1))

Problemi pratici di distribuzione ipergeometrica

Utilizza i seguenti problemi pratici per verificare la tua conoscenza della distribuzione ipergeometrica.

Nota: utilizzeremo il calcolatore della distribuzione ipergeometrica per calcolare le risposte a queste domande.

Problema 1

Domanda: Supponiamo di scegliere a caso quattro carte da un mazzo senza sostituirle. Qual è la probabilità che due carte siano regine?

Per rispondere a questa domanda possiamo utilizzare la distribuzione ipergeometrica con i seguenti parametri:

• N: dimensione della popolazione = 52 carte
• K: numero di oggetti nella popolazione con una certa caratteristica = 4 regine
• n: dimensione del campione = 4 estrazioni
• k: numero di oggetti nel campione con una certa caratteristica = 2 regine

Inserendo questi numeri nel calcolatore della distribuzione ipergeometrica, troviamo che la probabilità è 0,025 .

Problema 2

Domanda: Un’urna contiene 3 palline rosse e 5 palline verdi. Scegli a caso 4 palline. Qual è la probabilità che sceglierai esattamente 2 palline rosse?

Per rispondere a questa domanda possiamo utilizzare la distribuzione ipergeometrica con i seguenti parametri:

• N: dimensione della popolazione = 8 palline
• K: numero di oggetti nella popolazione con una certa caratteristica = 3 palline rosse
• n: dimensione del campione = 4 estrazioni
• k: numero di oggetti nel campione con una certa caratteristica = 2 palline rosse

Inserendo questi numeri nel calcolatore della distribuzione ipergeometrica, troviamo che la probabilità è 0,42857 .

Problema 3

Domanda: Un cestino contiene 7 biglie viola e 3 biglie rosa. Scegli a caso 6 biglie. Qual è la probabilità che sceglierai esattamente 3 biglie rosa?

Per rispondere a questa domanda possiamo utilizzare la distribuzione ipergeometrica con i seguenti parametri:

• N: dimensione della popolazione = 10 biglie
• K: numero di oggetti nella popolazione con una certa caratteristica = 3 palline rosa
• n: dimensione del campione = 6 estrazioni
• k: numero di oggetti nel campione con una certa caratteristica = 3 palline rosa

Inserendo questi numeri nel calcolatore della distribuzione ipergeometrica, troviamo che la probabilità è 0,16667 .