4 esempi reali di distribuzione esponenziale

La distribuzione esponenziale è una distribuzione di probabilità utilizzata per modellare il tempo che dobbiamo aspettare prima che si verifichi un determinato evento.

Se una variabile casuale X segue una distribuzione esponenziale, allora la funzione di densità cumulativa di X può essere scritta:

F (x; λ) = 1 – e ^-λx

Oro:

• λ: il parametro della velocità (calcolato come λ = 1/μ)
• e: Una costante pari a circa 2.718

In questo articolo condividiamo 5 esempi di distribuzione esponenziale nella vita reale.

Esempio 1: tempo tra le eruzioni dei geyser

Il numero di minuti tra le eruzioni di un determinato geyser può essere modellato dalla distribuzione esponenziale.

Ad esempio, supponiamo che il numero medio di minuti tra le eruzioni di un determinato geyser sia di 40 minuti. Se un geyser erutta, qual è la probabilità che dovremo aspettare meno di 50 minuti per la prossima eruzione?

Per risolvere questo problema, dobbiamo prima calcolare il parametro della velocità:

• λ = 1/μ
• λ = 1/40
• λ = 0,025

Possiamo inserire λ = 0,025 e x = 50 nella formula CDF:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 50) = 1 – e ^-0,025(50)
• P(X ≤ 50) = 0,7135

La probabilità che dovremo aspettare meno di 50 minuti per la prossima eruzione è 0,7135 .

Esempio 2: tempo tra i clienti

Il numero di minuti tra i clienti che entrano in un determinato negozio può essere modellato dalla distribuzione esponenziale.

Ad esempio, supponiamo che un nuovo cliente entri in un negozio in media ogni due minuti. Dopo l’arrivo di un cliente, determinare la probabilità che un nuovo cliente arrivi in meno di un minuto.

Per risolvere questo problema, possiamo iniziare sapendo che il tempo medio tra un cliente e l’altro è di due minuti. Pertanto il tasso può essere calcolato come segue:

• λ = 1/μ
• λ = 1/2
• λ = 0,5

Possiamo inserire λ = 0,5 e x = 1 nella formula CDF:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 1) = 1 – e ^-0,5(1)
• P(X ≤ 1) = 0,3935

La probabilità che dovremo aspettare meno di un minuto per l’arrivo del prossimo cliente è 0,3935 .

Esempio 3: Tempo tra i terremoti  

Il tempo che intercorre tra gli eventi sismici può essere modellato utilizzando una distribuzione esponenziale.

Ad esempio, supponiamo che in una determinata regione si verifichi un terremoto in media ogni 400 giorni. Dopo un terremoto, determinare la probabilità che trascorrano più di 500 giorni prima che si verifichi il terremoto successivo.

Per risolvere questo problema, partiamo dal sapere che il tempo medio tra un terremoto e l’altro è di 400 giorni. Pertanto il tasso può essere calcolato come segue:

• λ = 1/μ
• λ = 1/400
• λ = 0,0025

Possiamo inserire λ = 0,0025 e x = 500 nella formula CDF:

• P(X ≤ x) = 1 – e ^-λx
• P(X ≤ 1) = 1 – e ^-0,0025(500)
• P(X ≤ 1) = 0,7135

La probabilità che dovremo aspettare meno di 500 giorni per il prossimo terremoto è 0,7135.

Quindi la probabilità che dovremo aspettare più di 500 giorni per il prossimo terremoto è 1 – 0,7135 = 0,2865 .

Esempio 4: tempo tra le chiamate

Il tempo che intercorre tra le chiamate dei clienti presso diverse aziende può essere modellato utilizzando una distribuzione esponenziale.

Ad esempio, supponiamo che una banca riceva una nuova chiamata in media ogni 10 minuti. Dopo che un cliente ha chiamato, determina la probabilità che un nuovo cliente chiami entro 10-15 minuti.

Per risolvere questo problema, partiamo dal sapere che il tempo medio tra le chiamate è di 10 minuti. Pertanto il tasso può essere calcolato come segue:

• λ = 1/μ
• λ = 1/10
• λ = 0,1

Possiamo utilizzare la seguente formula per calcolare la probabilità che un nuovo cliente chiami entro 10-15 minuti:

• P(10 < X ≤ 15) = (1 – e ^-0,1(15) ) – (1 – e ^-0,1(10) )
• P(10 < X ≤ 15) = 0,7769 – 0,6321
• P(10 < X ≤ 15) = 0,1448

La probabilità che un nuovo cliente chiami entro 10-15 minuti. è 0,1448 .

Risorse addizionali

I seguenti articoli forniscono esempi di come vengono utilizzate altre distribuzioni di probabilità nel mondo reale:

6 esempi concreti della distribuzione normale
5 esempi concreti della distribuzione binomiale
5 esempi concreti della distribuzione di Poisson
5 esempi concreti di distribuzione geometrica
5 esempi concreti di distribuzione uniforme