Esperimenti binomiali: spiegazione + esempi

Comprendere gli esperimenti binomiali è il primo passo per comprendere la distribuzione binomiale .

Questo tutorial definisce un esperimento binomiale e fornisce diversi esempi di esperimenti che sono o non sono considerati esperimenti binomiali.

Esperimento binomiale: definizione

Un esperimento binomiale è un esperimento che ha le seguenti quattro proprietà:

1. L’esperimento consiste di n prove ripetute. Il numero n può essere qualsiasi importo. Ad esempio, se lanciamo una moneta 100 volte, allora n = 100.

2. Ogni prova ha solo due possibili risultati. Spesso chiamiamo i risultati un “successo” o un “fallimento”, ma un “successo” è solo un’etichetta per qualcosa su cui contiamo. Ad esempio, quando lanciamo una moneta, potremmo definire una testa un “colpo” e una croce un “fallimento”.

3. La probabilità di successo, indicata con p , è la stessa per ogni prova. Affinché un esperimento sia un vero esperimento binomiale, la probabilità di “successo” deve essere la stessa per ogni prova. Ad esempio, quando lanciamo una moneta, la probabilità di ottenere testa (“successo”) è sempre la stessa ogni volta che lanciamo una moneta.

4. Ogni test è indipendente . Ciò significa semplicemente che l’esito di uno studio non influenza l’esito di un altro studio. Ad esempio, supponiamo di lanciare una moneta e che esca testa. Il fatto che esca testa non cambia la probabilità che esca testa al lancio successivo. Ogni lancio (cioè ogni “prova”) è indipendente.

Esempi di esperimenti binomiali

I seguenti esperimenti sono tutti esempi di esperimenti binomiali.

Esempio 1

Lancia una moneta 10 volte. Registra il numero di volte in cui esce croce.

Questo è un esperimento binomiale perché ha le seguenti quattro proprietà:

• L’esperimento consiste in n prove ripetute. In questo caso ci sono 10 tentativi.
• Ogni prova ha solo due possibili esiti. La moneta può atterrare solo su testa o croce.
• La probabilità di successo è la stessa per ogni prova . Se definiamo “successo” come cadere in testa, allora la probabilità di successo è esattamente 0,5 per ogni prova.
• Ogni test è indipendente . Il risultato di un pareggio non influenza il risultato di qualsiasi altro pareggio.

Esempio n.2

Lancia un dado equilibrato a 6 facce 20 volte. Registra il numero di volte in cui appare un 2.

Questo è un esperimento binomiale perché ha le seguenti quattro proprietà:

• L’esperimento consiste in n prove ripetute. In questo caso ci sono 20 prove.
• Ogni prova ha solo due possibili esiti. Se definiamo un 2 come un “successo”, allora ogni volta che il dado esce su un 2 (un successo) o su un altro numero (un fallimento).
• La probabilità di successo è la stessa per ogni prova . Per ogni prova, la probabilità che il dado cada su 2 è 1/6. Questa probabilità non cambia da una prova all’altra.
• Ogni test è indipendente . Il risultato di un tiro di dado non influenza il risultato di altri tiri di dado.

Esempio n.3

Tyler effettua il 70% dei suoi tiri liberi. Supponiamo che faccia 15 tentativi. Registra il numero di cestini che fa.

Questo è un esperimento binomiale perché ha le seguenti quattro proprietà:

• L’esperimento consiste in n prove ripetute. In questo caso ci sono 15 prove.
• Ogni prova ha solo due possibili esiti. Ad ogni tentativo, Tyler fa canestro o lo manca.
• La probabilità di successo è la stessa per ogni prova . Per ogni tentativo, la probabilità che Tyler riesca a fare canestro è del 70%. Questa probabilità non cambia da una prova all’altra.
• Ogni test è indipendente . Il risultato di un tiro libero non influenza il risultato di qualsiasi altro tiro libero.

Esempi che non sono esperimenti binomiali

Esempio 1

Chiedi a 100 persone quanti anni hanno .

Questo non è un esperimento binomiale perché ci sono più di due possibili risultati.

Esempio n.2

Lancia un dado equilibrato a 6 facce finché non appare un 5.

Questo non è un esperimento binomiale perché non esiste un numero n predefinito di prove. Non abbiamo idea di quanti tiri ci vorranno prima che appaia un 5.

Esempio n.3

Pesca 5 carte da un mazzo di carte.

Questo non è un esperimento binomiale perché il risultato di una prova (ad esempio, pescare una certa carta dal mazzo) influenza il risultato delle prove successive.

Un esempio e una soluzione dell’esperimento binomiale

L’esempio seguente mostra come risolvere una domanda riguardante un esperimento binomiale.

Lanci una moneta 10 volte. Qual è la probabilità che la moneta dia esattamente 7 teste?

Ogni volta che vogliamo trovare la probabilità di n successi in un esperimento binomiale, dobbiamo utilizzare la seguente formula:

P(esattamente k successi) = _n C _k * p ^k * (1-p) ^nk

Oro:

• n: il numero di tentativi
• k: il numero di successi
• C: il simbolo della “combinazione”.
• p: probabilità di successo in una determinata prova

Inserendo questi numeri nella formula otteniamo:

P(7 teste) = ₁₀ C ₇ * 0,5 ⁷ * (1-0,5) ^10-7 = (120) * (.0078125) * (.125) = 0,11719 .

Quindi, la probabilità che la moneta esca testa 7 volte è 0,11719 .