Formule di probabilità

Di Benjamin anderson Agosto 1, 2023 Probabilità 0 commenti

Questo articolo mostra quali sono le formule di probabilità. Troverai quindi tutte le formule della teoria della probabilità e, inoltre, esempi della loro applicazione.

Formula della regola di Laplace

La regola di Laplace, conosciuta anche come legge di Laplace, è una regola utilizzata per calcolare la probabilità che si verifichi un evento.

La regola di Laplace afferma che la probabilità che un evento si verifichi è pari al numero di casi favorevoli diviso il numero totale di casi possibili. Pertanto, per calcolare la probabilità che si verifichi un evento, i casi che soddisfano quell’evento devono essere divisi per il numero di possibili esiti.

Pertanto, la formula della regola di Laplace è la seguente:

$P(A)=\cfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$

➤ Vedi: Esempio di regola di Laplace

Formula per l’evento inverso

La probabilità di un evento è uguale a uno meno la probabilità del suo evento opposto. In altre parole, la somma della probabilità di un evento più la probabilità del suo evento opposto è uguale a 1.

$P\bigl(A\bigr)=1-P\bigl(\overline{A}\bigr)$

Ad esempio, la probabilità che esca il numero 5 è 0,167, poiché possiamo determinare la probabilità che esca qualsiasi altro numero utilizzando questa proprietà probabilistica:

$P(5)=0,167$

$P(1, 2, 3, 4, 6)=1-P(5)=1-0,167=0,833$

Formula della probabilità condizionata

La probabilità condizionata, detta anche probabilità condizionata, è una misura statistica che indica la probabilità che si verifichi l’evento A se si verifica un altro evento B. Cioè, la probabilità condizionata P(A|B) si riferisce alla probabilità che l’evento A si verifichi dopo che l’evento B si è già verificato.

La probabilità condizionata dell’evento A dato l’evento B è uguale alla probabilità dell’intersezione tra l’evento A e l’evento B divisa per la probabilità dell’evento B. Pertanto, la formula per la probabilità condizionale è la seguente:

$P(A|B)=\cfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

➤ Vedi: Esempio di probabilità condizionata

Formula per l’unione degli eventi

L’unione di due eventi A e B è l’insieme degli eventi che si trovano in A, in B o in entrambi. L’unione di due eventi si esprime con il simbolo ⋃, quindi l’unione degli eventi A e B si scrive A⋃B.

La probabilità dell’unione di due eventi è uguale alla probabilità del primo evento più la probabilità del secondo evento meno la probabilità dell’intersezione degli eventi.

In altre parole, la formula per la probabilità dell’unione di due eventi è P(A⋃B)=P(A)+P(B)-P(A⋂B).

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Tuttavia, se i due eventi sono incompatibili, l’intersezione tra i due eventi è zero. Pertanto, la probabilità di unione di due eventi incompatibili viene calcolata sommando la probabilità di accadimento di ciascun evento.

$\text{A y B son incompatibles} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black} \ P(A\cap B)=0$

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

➤ Vedi: Esempi di partecipazione ad eventi

Formula per l’intersezione degli eventi

L’intersezione degli eventi A e B è formata da tutti gli eventi che appartengono ad A e B contemporaneamente, è espressa dal simbolo ⋂. Pertanto, l’intersezione degli eventi A e B si scrive A⋂B.

La probabilità dell’intersezione di due eventi è uguale alla probabilità che si verifichi un evento moltiplicata per la probabilità condizionata che si verifichi l’altro evento dato il primo evento.

Pertanto, la formula per la probabilità dell’intersezione di due eventi è P(A⋂B)=P(A) P(B|A)=P(B) P(A|B).

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=P(B)\cdot P(A|B)$

Tuttavia, se i due eventi sono indipendenti, ciò significa che la probabilità che si verifichi un evento non dipende dal fatto che si verifichi l’altro evento. Pertanto la formula per la probabilità di intersezione dei due eventi indipendenti è la seguente:

$P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B)$

➤ Vedi: Esempi di intersezione di eventi

Formula per la differenza di eventi

La differenza di probabilità tra due eventi si riferisce alla probabilità che un evento si verifichi senza che l’altro evento si verifichi contemporaneamente.

Pertanto la probabilità della differenza dei successi AB è pari alla probabilità del successo A meno la probabilità dell’intersezione tra il successo A e il successo B. Quindi la formula per la probabilità della differenza dei successi è la seguente:

$P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$

Formula per il teorema della probabilità totale

Il teorema della probabilità totale è una legge che permette di calcolare la probabilità di un evento che non fa parte di uno spazio campionario dalle probabilità condizionate di tutti gli eventi in detto spazio campionario.

Il teorema della probabilità totale dice che dato un insieme di eventi {A ₁ , A ₂ ,…, A _n } che formano una partizione sullo spazio campionario, la probabilità dell’evento B è pari alla somma dei prodotti della probabilità di ciascuno evento P(A _i ) dalla probabilità condizionata P(B|A _i ).

Pertanto, la formula per il teorema della probabilità totale è:

$\displaystyle P(B)=\sum_{i=1}^n P(B|A_i)\cdot P(A_i)$

➤ Vedi: Esempio del teorema della probabilità totale

Formula del teorema di Bayes

Nella teoria della probabilità, il teorema di Bayes è una legge utilizzata per calcolare la probabilità di un evento quando si conoscono informazioni a priori su quell’evento.

Il teorema di Bayes dice che dato uno spazio campionario formato da un insieme di eventi mutuamente esclusivi {A ₁ , A ₂ ,…, A _i ,…, A _n } le cui probabilità non sono zero e un altro evento B, possiamo mettere in relazione matematicamente il condizionale probabilità di A _i dato l’evento B con la probabilità condizionata di B dato A _i .

Quindi la formula del teorema di Bayes è la seguente:

$P(A_i|B)=\cfrac{P(B|A_i)\cdot P(A_i)}{\displaystyle \sum_{k=1}^n P(B|A_k)\cdot P(A_k)}$

➤ Vedi: Esempio del teorema di Bayes

Tabella riassuntiva di tutte le formule di probabilità

Infine, vi lasciamo una tabella con tutte le formule di probabilità come riepilogo.

➤ Vedi: Formule statistiche

Informazioni sull'autore

Benjamin anderson

Ciao, sono Benjamin, un professore di statistica in pensione diventato insegnante dedicato di Statorials. Con una vasta esperienza e competenza nel campo della statistica, sono ansioso di condividere le mie conoscenze per potenziare gli studenti attraverso Statorials. Scopri di più