Legge dei grandi numeri

In questo articolo spieghiamo cos’è la legge dei grandi numeri e a cosa serve in probabilità e statistica. Potrai anche vedere un esempio di applicazione della legge dei grandi numeri e, inoltre, qual è la relazione tra questa legge e il teorema del limite centrale.

Qual è la legge dei grandi numeri?

Nella teoria della probabilità, la legge dei grandi numeri è una regola che descrive il risultato di un’azione eseguita un gran numero di volte. Più specificamente, la legge dei grandi numeri dice che la media dei risultati ottenuti da un gran numero di prove sarà vicina al valore atteso.

Inoltre, secondo la legge dei grandi numeri, più esperimenti facciamo, più i risultati si avvicineranno al valore atteso.

Ad esempio, se lanciamo una moneta cinque volte, possiamo ottenere testa solo una volta (20%). Tuttavia, se la moneta viene lanciata più volte (più di 1000 lanci), quasi la metà dei risultati sarà testa (50%) poiché questo è il valore atteso. Questo è un esempio della legge dei grandi numeri.

L’origine della legge dei grandi numeri si trova nel XVI secolo con Gerolamo Cardano, tuttavia molti autori hanno partecipato allo sviluppo di questa legge statistica nel corso della storia: Bernoulli, Poisson, Chebyshev, Markov, Borel, Cantelli, Kolmogorov e Khinchin.

Esempio della legge dei grandi numeri

Dopo aver visto la definizione della legge dei grandi numeri, vedremo un esempio concreto per comprenderne meglio il significato. In questo caso analizzeremo le probabilità dei possibili risultati che possiamo ottenere lanciando un dado.

Ci sono sei possibili risultati quando si lancia un dado (1, 2, 3, 4, 5 e 6), quindi la probabilità teorica di ciascun evento elementare è:

Quindi simuleremo più volte il lancio e registreremo i risultati in una tabella di frequenza per verificare se viene rispettata la legge dei grandi numeri.

Per farvi capire l’importanza del numero di esperimenti effettuati, simuleremo prima dieci lanci, poi cento ed infine mille. Pertanto, i risultati ottenuti dalla simulazione di 10 lanci di dadi casuali sono i seguenti:

Come puoi vedere, le probabilità di frequenza ottenute simulando solo dieci lanci non assomigliano alle probabilità teoriche.

Ma man mano che aumentiamo il numero di esperimenti, questi due parametri diventano più simili, guarda la simulazione di 100 lanci:

Ora la probabilità di frequenza calcolata per ciascun numero sul dado è più simile alla sua probabilità teorica, tuttavia otteniamo ancora valori molto diversi.

Infine, eseguiamo la stessa procedura ma simulando 1000 lanci:

Come possiamo vedere nell’ultima tabella, ora i valori delle probabilità di frequenza sono molto vicini alle probabilità teoriche.

In sintesi, più aumentiamo il numero di esperimenti effettuati, più il valore della probabilità di frequenza di un evento si avvicina alla sua probabilità teorica di accadimento. Pertanto la legge dei grandi numeri viene rispettata, perché più iterazioni eseguiamo, più i valori sperimentali sono simili a quelli teorici.

Limitazione della legge dei grandi numeri

La legge dei grandi numeri è valida nella stragrande maggioranza dei casi, tuttavia alcuni tipi di distribuzioni di probabilità non soddisfano questo teorema statistico.

Ad esempio, la distribuzione di Cauchy o la distribuzione di Pareto (α<1) non convergono all’aumentare del numero di prove. Ciò è dovuto alle grandi code delle distribuzioni, il che significa che non hanno alcun valore atteso.

D’altra parte, alcuni esperimenti sono distorti a causa delle loro caratteristiche, per cui il ricercatore tende a modificare i risultati (intenzionalmente o meno) per ragioni razionali, psicologiche, economiche, ecc. motivi. In questi casi, la legge dei grandi numeri non aiuta a risolvere il bias, ma il bias persisterà indipendentemente dall’aumento del numero di prove.

Legge dei grandi numeri e teorema del limite centrale

La legge dei grandi numeri e il teorema del limite centrale sono due regole fondamentali della probabilità e della statistica strettamente correlate. Quindi in questa sezione vedremo qual è la loro relazione e qual è la loro differenza.

Il teorema del limite centrale, detto anche teorema del limite centrale, afferma che la distribuzione delle medie campionarie si avvicina a una distribuzione normale all’aumentare della dimensione del campione, indipendentemente dalla distribuzione di probabilità della popolazione.

La differenza tra la legge dei grandi numeri e il teorema limite centrale è che la legge dei grandi numeri dice che la media di un gran numero di prove è vicina al suo valore atteso, ma il teorema limite centrale dice che la media di molti dei i campioni si avvicinano a una distribuzione normale.