Legge della probabilità totale: definizione ed esempi

Nella teoria della probabilità, la legge della probabilità totale è un modo utile per trovare la probabilità di un evento A quando non conosciamo direttamente la probabilità di A ma sappiamo che gli eventi B ₁ , B ₂ , B ₃ … formano una partizione. dello spazio campionario S.

Questa legge specifica quanto segue:

La legge della probabilità totale

Se B ₁ , B ₂ , B ₃ … formano una partizione dello spazio campionario S , allora possiamo calcolare la probabilità dell’evento A come segue:

P( A ) = ΣP( A | B _i )*P( B _i )

Il modo più semplice per comprendere questa legge è fare un semplice esempio.

Supponiamo che in una scatola ci siano due sacchi contenenti le seguenti biglie:

• Borsa 1: 7 biglie rosse e 3 biglie verdi
• Borsa 2: 2 biglie rosse e 8 biglie verdi

Se selezioniamo a caso uno dei sacchetti e poi selezioniamo a caso una biglia da quel sacchetto, qual è la probabilità che sia una biglia verde?

In questo esempio, sia P( G ) = probabilità di scegliere una biglia verde. È la probabilità che ci interessa, ma non possiamo calcolarla direttamente.

Dobbiamo invece utilizzare la probabilità condizionata di G , dato un evento B in cui B _i forma una partizione dello spazio campionario S. In questo esempio, abbiamo le seguenti probabilità condizionali:

• P(Sol| _Si1 ) = 3/10 = 0,3
• P(Sol| _Si2 ) = 8/10 = 0,8

Quindi, utilizzando la legge della probabilità totale, possiamo calcolare la probabilità di scegliere una biglia verde come segue:

• P(G) = ΣP(G|B _i )*P(B _i )
• P(Sol) = P(Sol|Si ₁ )*P(Si ₁ ) + P(Sol|Si ₂ )*P(Si ₂ )
• P(G) = (0,3)*(0,5) + (0,8)*(0,5)
• P(G) = 0,55

Se selezioniamo a caso uno dei sacchetti e poi selezioniamo casualmente una biglia da quel sacchetto, la probabilità di scegliere una biglia verde è 0,55 .

Leggi i due esempi seguenti per consolidare la tua comprensione della legge della probabilità totale.

Esempio 1: widget

L’azienda A fornisce l’80% dei widget a un’officina automobilistica e solo l’1% dei suoi widget risulta difettoso. L’azienda B fornisce il restante 20% dei widget all’autofficina e il 3% dei suoi widget risulta difettoso.

Se un cliente acquista casualmente un widget da un’autofficina, qual è la probabilità che sia difettoso?

Se poniamo P( D ) = la probabilità che un widget sia difettoso e P(B _i ) la probabilità che il widget provenga da una delle aziende, allora possiamo calcolare la probabilità di acquistare un widget difettoso come segue:

• P(D) = ΣP(D|B _i )*P(B _i )
• P(D) = P(D|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(D|B ₂ )*P(B ₂ )
• P(D) = (0,01)*(0,80) + (0,03)*(0,20)
• P(D) = 0,014

Se acquistiamo a caso un widget da questo negozio di automobili, la probabilità che sia difettoso è 0,014 .

Esempio 2: foreste

La foresta A occupa il 50% della superficie totale di un determinato parco e il 20% delle piante di questa foresta sono velenose. La foresta B occupa il 30% della superficie totale e il 40% delle piante che contiene sono velenose. La foresta C occupa il restante 20% del territorio e il 70% delle piante ivi rinvenute sono velenose.

Se entriamo a caso in questo parco e raccogliamo una pianta da terra, quanto è probabile che sia velenosa?

Se poniamo P( P ) = la probabilità che la pianta sia velenosa, e P(B _i ) la probabilità che siamo entrati in una delle tre foreste, allora possiamo calcolare la probabilità che una pianta scelta a caso sia tossica come:

• P(P) = ΣP(P|B _i )*P(B _i )
• P(P) = P(P|B ₁ )*P(B ₁ ) + P(P|B ₂ )*P(B ₂ ) + P(P|B ₃ )*P(B ₃ )
• P(P) = (0,20)*(0,50) + (0,40)*(0,30) + (0,70)*(0,20)
• P(P) = 0,36

Se scegliamo a caso una pianta dal terreno, la probabilità che sia tossica è 0,36 .

Risorse addizionali

Le seguenti esercitazioni forniscono informazioni aggiuntive sugli argomenti relativi alla probabilità:

Come trovare la media di una distribuzione di probabilità
Come trovare la deviazione standard di una distribuzione di probabilità
Calcolatore della distribuzione di probabilità