Distribuzione del pesce

Di Benjamin anderson Agosto 3, 2023 Probabilità 0 commenti

Questo articolo spiega cos’è la distribuzione di Poisson nelle statistiche e a cosa serve. Quindi troverai la definizione della distribuzione di Poisson, esempi di distribuzioni di Poisson e quali sono le loro proprietà. Infine, potrai calcolare qualsiasi probabilità della distribuzione di Poisson con un calcolatore online.

Cos’è la distribuzione di Poisson?

La distribuzione di Poisson è una distribuzione di probabilità che definisce la probabilità che un dato numero di eventi si verifichi in un periodo di tempo.

In altre parole, la distribuzione di Poisson viene utilizzata per modellare variabili casuali che descrivono il numero di volte in cui un fenomeno si ripete in un intervallo di tempo.

La distribuzione di Poisson ha un parametro caratteristico, rappresentato dalla lettera greca λ e indica il numero di volte in cui si prevede che l’evento studiato si verifichi durante un dato intervallo.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

In generale, la distribuzione di Poisson viene utilizzata per modellare statisticamente eventi con una probabilità di accadimento molto bassa. Di seguito puoi vedere diversi esempi di questo tipo di distribuzione di probabilità.

Esempi di distribuzione di Poisson

Dopo aver visto la definizione della distribuzione di Poisson, ecco alcuni esempi della distribuzione di Poisson.

Esempi di distribuzione di Poisson:

Il numero di persone che entrano in un negozio in un’ora.
Il numero di veicoli che attraversano il confine tra due paesi in un mese.
Il numero di utenti che accedono a una pagina web in un giorno.
Il numero di parti difettose prodotte da una fabbrica in un giorno.
Il numero di chiamate ricevute da una centrale telefonica al minuto.

Formula di distribuzione del pesce

In una distribuzione di Poisson, la probabilità che si verifichino x eventi è uguale al numero e elevato a -λ moltiplicato per λ elevato a x e diviso per il fattoriale di x .

Pertanto, la formula per calcolare la probabilità di una distribuzione di Poisson è:

👉 Puoi utilizzare la calcolatrice qui sotto per calcolare la probabilità di una variabile che segue la distribuzione di Poisson.

Poiché la distribuzione di Poisson è una distribuzione di probabilità discreta, per determinare una probabilità cumulativa, è necessario trovare le probabilità di tutti i valori fino al valore in questione e quindi sommare tutte le probabilità calcolate.

Esercizio risolto sulla distribuzione di Poisson

Il numero di prodotti venduti da un marchio segue una distribuzione di Poisson di λ=5 unità/giorno. Qual è la probabilità che in un giorno tu abbia venduto solo 7 unità? E la probabilità che in un giorno tu abbia venduto 3 unità o meno?

Per ottenere le diverse probabilità richieste dal problema, dobbiamo applicare la formula della distribuzione di Poisson (vedi sopra). Quindi, utilizzando questa formula calcoliamo la probabilità di vendere 7 unità in un giorno:

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=7]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^7}{7!}\\[2ex]P[X=7]&=0,1044\end{aligned}$

In secondo luogo, ci viene chiesto di determinare la probabilità cumulativa di vendere 3 o meno unità. Pertanto, per trovare questa probabilità, dobbiamo calcolare la probabilità di vendere 1 unità, 2 unità e 3 unità separatamente e poi sommarle insieme.

$P[X\leq 3]=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]$

Pertanto, calcoliamo prima ciascuna probabilità separatamente:

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=1]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^1}{1!}\\[2ex]P[X=1]&=0,0337\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=2]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^2}{2!}\\[2ex]P[X=2]&=0,0842\end{aligned}$

$\begin{aligned}P[X=x]&=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}\\[2ex]P[X=3]&=\cfrac{e^{-5}\cdot 5^3}{3!}\\[2ex]P[X=3]&=0,1404\end{aligned}$

Successivamente, aggiungiamo le tre probabilità calcolate per determinare la probabilità di vendere tre o meno unità in un giorno.

$\begin{aligned}P[X\leq 3]&=P[X=1]+P[X=2]+P[X=3]\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,0337+0,0842+0,1404\\[2ex]P[X\leq 3]&=0,2583\end{aligned}$

Caratteristiche della distribuzione di Poisson

In questa sezione vedremo quali sono le caratteristiche della distribuzione di Poisson.

La distribuzione di Poisson è definita da un unico parametro caratteristico, λ, che indica il numero di volte in cui si prevede che l’evento studiato si verifichi durante un certo periodo di tempo.

$X\sim \text{Poisson}(\lambda)$

La media di una distribuzione di Poisson è uguale al suo parametro caratteristico λ.

$E[X]=\lambda$

Allo stesso modo, la varianza di una distribuzione di Poisson è equivalente al suo parametro caratteristico λ.

$Var(X)=\lambda$

Se λ è un intero, la modalità della distribuzione di Poisson è bimodale e i suoi valori sono λ e λ-1. Se invece λ non è un intero, la modalità della distribuzione di Poisson è il più grande intero minore o uguale a λ.

$\begin{array}{l}\lambda \in \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\{\lambda, \lambda-1\} \\[2ex]}\lambda \ \cancel{\in} \ \mathbb{Z} \ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ Mo=\lfloor\lambda\rfloor\end{array}$

Non esiste una formula specifica per determinare la mediana di una distribuzione di Poisson, ma puoi trovare il suo intervallo:

$\lambda-\ln 2\leq Me < \lambda +\cfrac{1}{3}$

La funzione di probabilità della distribuzione di Poisson è la seguente:

$P[X=x]=\cfrac{e^{-\lambda}\cdot \lambda^x}{x!}$

L’aggiunta di variabili casuali di Poisson indipendenti si traduce in un’altra variabile casuale di Poisson il cui parametro caratteristico è la somma dei parametri delle variabili originali.

$\begin{array}{c}X_i\sim \text{Poisson}(\lambda_i) \quad i=1,\ldots,N\\[2ex] \displaystyle Y=\sum_{i=1}^N X_i\sim \text{Poisson}\left(\sum_{i=1}^N \lambda_i\right)\end{array}$

Una distribuzione binomiale può essere approssimata come distribuzione di Poisson se il numero totale di osservazioni è sufficientemente grande (n≥100), essendo λ il prodotto dei due parametri caratteristici della distribuzione binomiale.

$X\sim \text{Bin}(n,p)\ \color{orange}\bm{\longrightarrow}\color{black}\ X\sim \text{Poisson}(n\cdot p)$

➤ Vedi: Caratteristiche della distribuzione binomiale

Calcolatore della distribuzione dei pesci

Inserisci il valore del parametro λ e il valore di x nella calcolatrice sottostante per calcolare la probabilità. Devi selezionare la probabilità che vuoi calcolare e inserire i numeri utilizzando il punto come separatore decimale, ad esempio 0,1667.

Informazioni sull'autore

Benjamin anderson

Ciao, sono Benjamin, un professore di statistica in pensione diventato insegnante dedicato di Statorials. Con una vasta esperienza e competenza nel campo della statistica, sono ansioso di condividere le mie conoscenze per potenziare gli studenti attraverso Statorials. Scopri di più