Misurazioni della forma

Di Benjamin anderson Agosto 4, 2023 Statistiche 0 commenti

Questo articolo spiega cosa sono le misurazioni della forma. Imparerai quindi a cosa servono le metriche di forma, come vengono interpretate e come vengono calcolati questi tipi di metriche statistiche.

Cosa sono le misurazioni della forma?

In statistica, le misure di forma sono indicatori che permettono di descrivere una distribuzione di probabilità in base alla sua forma. Cioè, le misure di forma vengono utilizzate per determinare come appare una distribuzione senza la necessità di rappresentarla graficamente.

Esistono due tipi di misurazioni della forma: asimmetria e curtosi. L’asimmetria indica quanto è simmetrica una distribuzione, mentre la curtosi indica quanto è concentrata una distribuzione attorno alla sua media.

Quali sono le misure della forma?

Considerando la definizione di misure di forma, questa sezione mostra quali sono questi tipi di parametri statistici.

In statistica distinguiamo due misure di forma:

Asimmetria : indica se una distribuzione è simmetrica o asimmetrica.
Kurtosi – Indica se una distribuzione è ripida o piatta.

Asimmetria

Esistono tre tipi di asimmetria :

Asimmetria positiva : la distribuzione ha più valori diversi a destra della media che a sinistra.
Simmetria : la distribuzione ha lo stesso numero di valori a sinistra della media e a destra della media.
Asimmetria negativa : la distribuzione ha più valori diversi a sinistra della media che a destra.

coefficiente di asimmetria

Il coefficiente di asimmetria , o indice di asimmetria , è un coefficiente statistico che aiuta a determinare l’asimmetria di una distribuzione. Pertanto, calcolando il coefficiente di asimmetria, è possibile conoscere il tipo di asimmetria della distribuzione senza doverne fare una rappresentazione grafica.

Sebbene esistano diverse formule per calcolare il coefficiente di asimmetria, e le vedremo tutte di seguito, indipendentemente dalla formula utilizzata, l’interpretazione del coefficiente di asimmetria avviene sempre come segue:

Se il coefficiente di asimmetria è positivo, la distribuzione è asimmetrica positivamente .
Se il coefficiente di asimmetria è zero, la distribuzione è simmetrica .
Se il coefficiente di asimmetria è negativo, la distribuzione è asimmetrica negativamente .

Coefficiente di asimmetria di Fisher

Il coefficiente di asimmetria di Fisher è uguale al terzo momento relativo alla media diviso per la deviazione standard del campione. Pertanto, la formula per il coefficiente di asimmetria di Fisher è:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\mu_3}{\sigma^3}$

In modo equivalente, è possibile utilizzare una delle due formule seguenti per calcolare il coefficiente di Fisher:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3}{N\cdot \sigma ^3}$

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\operatorname{E}[X^3] - 3\mu\sigma^2 - \mu^3}{\sigma^3}$

Oro

$E$

è l’aspettativa matematica,

$\mu$

la media aritmetica,

$\sigma$

la deviazione standard e

$N$

il numero totale di dati.

Se invece i dati sono raggruppati è possibile utilizzare la seguente formula:

$\displaystyle\gamma_1=\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N\left(x_i-\mu\right)^3\cdot f_i}{N\cdot \sigma ^3}$

Dove in questo caso

$x_i$

È il segno di classe e

$f_i$

la frequenza assoluta del corso.

Coefficiente di asimmetria di Pearson

Il coefficiente di asimmetria di Pearson è uguale alla differenza tra la media e la moda del campione divisa per la sua deviazione standard (o deviazione standard). La formula per il coefficiente di asimmetria di Pearson è quindi la seguente:

$A_p=\cfrac{\mu-Mo}{\sigma}$

Oro

$A_p$

è il coefficiente di Pearson,

$\mu$

la media aritmetica,

$Mo$

moda e

$\sigma$

la deviazione standard.

Tieni presente che il coefficiente di asimmetria di Pearson può essere calcolato solo se si tratta di una distribuzione unimodale, cioè se nei dati è presente una sola modalità.

Coefficiente di asimmetria di Bowley

Il coefficiente di asimmetria di Bowley è uguale alla somma del terzo quartile più il primo quartile meno il doppio della mediana divisa per la differenza tra il terzo e il primo quartile. La formula per questo coefficiente di asimmetria è quindi la seguente:

$A_B=\cfrac{Q_3+Q_1-2\cdot Me}{Q_3-Q_1}$

Oro

$Q_1$

$Q_3$

sono rispettivamente il primo ed il terzo quartile e

$Me$

è la mediana della distribuzione.

Appiattimento

La curtosi , chiamata anche asimmetria , indica quanto è concentrata una distribuzione attorno alla sua media. In altre parole, la curtosi indica se una distribuzione è ripida o piatta. Nello specifico, maggiore è la curtosi di una distribuzione, più ripida (o più nitida) è.

Esistono tre tipi di adulazione :

Leptokurtic : la distribuzione è molto puntuale, vale a dire che i dati sono fortemente concentrati attorno alla media. Più precisamente, le distribuzioni leptocurtiche sono definite come distribuzioni più nette della distribuzione normale.
Mesokurtica : la curtosi della distribuzione è equivalente alla curtosi della distribuzione normale. Non è quindi considerato né appuntito né appiattito.
Platicurtico : la distribuzione è molto appiattita, vale a dire che la concentrazione intorno alla media è bassa. Formalmente, le distribuzioni platicurtiche sono definite come distribuzioni più piatte della distribuzione normale.

Si noti che i diversi tipi di curtosi sono definiti prendendo come riferimento la curtosi della distribuzione normale.

Coefficiente di appiattimento

La formula per il coefficiente di curtosi è la seguente:

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

La formula per il coefficiente di curtosi per i dati raggruppati in tabelle di frequenza :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(x_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Infine, la formula per il coefficiente di curtosi per i dati raggruppati in intervalli :

$\displaystyle g_2=\frac{1}{N}\cdot\frac{\displaystyle \sum_{i=1}^N f_i\cdot(c_i-\mu)^4}{\sigma^4}-3$

Oro:

$g_2$

è il coefficiente di curtosi.
$N$

è il numero totale di dati.
$x_i$

è l’iesimo dato della serie.
$\mu$

è la media aritmetica della distribuzione.
$\sigma$

è la deviazione standard (o deviazione tipica) della distribuzione.
$f_i$

è la frequenza assoluta del set di dati it.
$c_i$

è il marchio di classe dell’i-esimo gruppo.

Si noti che in tutte le formule del coefficiente di curtosi, 3 viene sottratto perché è il valore di curtosi della distribuzione normale. Pertanto, il calcolo del coefficiente di curtosi viene effettuato prendendo come riferimento la curtosi della distribuzione normale. Ecco perché a volte nelle statistiche si dice che viene calcolata una curtosi eccessiva .

Una volta calcolato il coefficiente di curtosi è necessario interpretarlo come segue per identificare di che tipo di curtosi si tratta:

Se il coefficiente di curtosi è positivo significa che la distribuzione è leptocurtica .
Se il coefficiente di curtosi è zero, significa che la distribuzione è mesokurtica .
Se il coefficiente di curtosi è negativo significa che la distribuzione è platykurtica .

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Informazioni sull'autore

Benjamin anderson

Ciao, sono Benjamin, un professore di statistica in pensione diventato insegnante dedicato di Statorials. Con una vasta esperienza e competenza nel campo della statistica, sono ansioso di condividere le mie conoscenze per potenziare gli studenti attraverso Statorials. Scopri di più