Operazioni con eventi

Qui spieghiamo quali operazioni possono essere eseguite con gli eventi e come viene calcolato ciascun tipo di operazione con eventi. Inoltre, puoi esercitarti con esercizi passo passo sulle operazioni con eventi.

Tipi di operazioni con eventi

Nella teoria della probabilità, ci sono tre tipi di operazioni con eventi, che sono:

• Unione di eventi : è la probabilità che si verifichi un evento o un altro.
• Intersezione di eventi : è la probabilità congiunta di due o più eventi.
• Differenza di eventi : è la probabilità che si verifichi un evento ma che non si verifichi un altro evento contemporaneamente.

Definendo semplicemente ciascun tipo di operazione su evento, è difficile comprendere come viene eseguito ciascun tipo di operazione. Pertanto di seguito spiegheremo più nel dettaglio le tre operazioni.

unione di eventi

L’ unione di due eventi A e B è la probabilità che l’evento A, l’evento B o entrambi gli eventi si verifichino contemporaneamente.

Il simbolo dell’unione di due eventi diversi è una U, quindi l’unione di due eventi è espressa da una U in mezzo alle due lettere che rappresentano gli eventi.

La probabilità di unione di due eventi è pari alla somma della probabilità di accadimento di ciascun evento meno la probabilità di intersezione dei due eventi.

Ad esempio, calcoleremo la probabilità che si verifichino gli eventi “lanciare un numero pari” o “lanciare un numero maggiore di 4” quando si lancia un dado.

Ci sono tre possibilità per ottenere un numero pari lanciando il dado (2, 4 e 6), quindi la probabilità che l’evento si verifichi è:

Esistono invece solo due numeri maggiori di quattro (5 e 6), la loro probabilità è quindi:

E l’intersezione dei due eventi corrisponde ai numeri che compaiono in entrambi gli eventi, quindi:

In breve, unendo gli eventi A e B, la probabilità che si verifichino sarà:

intersezione di eventi

L’ intersezione di due eventi A e B è la probabilità che entrambi gli eventi A e B si verifichino contemporaneamente.

Il simbolo dell’intersezione di due eventi è rappresentato da una U rovesciata.

La probabilità dell’intersezione di due eventi è uguale al prodotto delle probabilità di ciascun evento separatamente.

Ovviamente, per calcolare la probabilità di intersezione di due eventi, questi due eventi devono essere compatibili.

Ad esempio, troveremo la probabilità che gli eventi “ottenga un numero pari” e “ottenga un numero maggiore di 4” si intersechino durante un lancio di dado.

Come abbiamo calcolato sopra, la probabilità che ciascun evento si verifichi separatamente è:

Pertanto, la probabilità dell’intersezione dei due eventi sarà la moltiplicazione delle probabilità di ciascun evento:

differenza di eventi

La differenza di due eventi A meno B corrisponde a tutti gli eventi elementari di A che non sono in B. In altre parole, nella differenza di due eventi A meno B, l’evento A è soddisfatto ma l’evento B non può essere soddisfatto contemporaneamente.

La probabilità di differenza tra due eventi A e B è uguale alla probabilità di accadimento dell’evento A meno la probabilità di accadimento degli eventi elementari condivisi da A e B.

Seguendo lo stesso esempio dei due tipi di operazioni precedenti, determineremo la probabilità che ciò accada dalla differenza tra l’evento “ottenere un numero pari” meno “ottenere un numero maggiore di 4” nel lancio dei dadi.

Le probabilità che si verifichino gli eventi A, B e la loro intersezione sono le seguenti (puoi vedere il calcolo dettagliato sopra):

La probabilità che si verifichi la differenza tra i due eventi è quindi:

Per curiosità, la differenza degli eventi AB ha la proprietà di essere equivalente anche all’intersezione tra l’evento A e l’evento complementare (o opposto) di B.

Esercizi risolti sulle operazioni con eventi

Esercizio 1

Se lanciamo un dado a sei facce, qual è la probabilità di ottenere un numero dispari o inferiore a 3?

In questo esercizio dobbiamo calcolare la probabilità che si verifichi un evento o un altro, quindi dobbiamo trovare la probabilità di unione dei due eventi.

Calcoliamo quindi prima la probabilità di ottenere un numero dispari applicando la legge di Laplace:

In secondo luogo, determiniamo la probabilità di ottenere un numero inferiore a 3:

Ora calcoliamo la probabilità degli eventi elementari che si ripetono in eventi, che è solo il numero 1 (solo dispari minore di 3):

Infine, applichiamo la formula per l’unione di due eventi per scoprirne la probabilità:

Esercizio 2

In una scatola mettiamo 3 palline arancioni, 2 palline blu e 5 palline bianche. Facciamo l’esperimento casuale di prendere una pallina, rimetterla nella scatola e poi rimuovere un’altra pallina. Qual è la probabilità di estrarre una pallina blu nella prima e una pallina arancione nella seconda?

Per risolvere questo problema dobbiamo calcolare l’intersezione dei due eventi, perché vogliamo che entrambi gli eventi elementari siano veri.

Calcoliamo quindi prima la probabilità di prendere una pallina blu applicando la regola di Laplace:

Troviamo quindi la probabilità di ottenere una pallina arancione:

E, infine, calcoliamo la probabilità di intersezione dei due eventi moltiplicando le due probabilità trovate:

In conclusione, c’è solo il 6% di possibilità di prendere una pallina blu al primo tentativo e una pallina arancione al secondo tentativo.

Esercizio 3

La probabilità che Marta superi un esame è 1/3 e la probabilità che Juan superi lo stesso esame è 2/5. Qual è la probabilità che Marta abbia successo e Juan fallisca?

In questo esercizio dobbiamo calcolare la differenza tra i due eventi, perché vogliamo che Marta approvi ma non Juan. Per fare ciò è sufficiente utilizzare la formula per questo tipo di operazioni con eventi:

La probabilità che Marta riesca e Juan fallisca contemporaneamente è quindi del 20%.